Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat — proprietăți, diagonale, simetrii

Un paralelogram este un patrulater cu laturile opuse paralele. El are proprietățile: laturile opuse congruente, unghiurile opuse congruente, unghiurile alăturate suplementare (sumă $180^\circ$) și diagonalele care se înjumătățesc (punctul lor de intersecție este mijlocul fiecăreia). Paralelogramele particulare — dreptunghiul, rombul și pătratul — păstrează toate aceste proprietăți și adaugă altele noi.

Dreptunghiul

Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept. De aici rezultă că toate cele patru unghiuri sunt drepte ($90^\circ$). Proprietatea sa caracteristică este: diagonalele sunt congruente și se înjumătățesc. Atenție: diagonalele dreptunghiului NU sunt perpendiculare (decât la pătrat) — ele sunt doar egale. Deoarece diagonalele se înjumătățesc și sunt egale, punctul lor de intersecție $O$ este egal depărtat de toate vârfurile, deci este centrul cercului circumscris. Într-un dreptunghi cu laturile $L$ și $l$, diagonala se calculează cu teorema lui Pitagora: $d = \sqrt{L^2 + l^2}$. Aria dreptunghiului este $A = L \cdot l$, iar perimetrul $P = 2(L + l)$. Dreptunghiul are două axe de simetrie (mediatoarele laturilor) și un centru de simetrie (punctul $O$).

Rombul

Rombul este paralelogramul cu două laturi alăturate congruente, deci are toate laturile congruente. Proprietatea caracteristică: diagonalele sunt perpendiculare ($d_1 \perp d_2$), se înjumătățesc și sunt bisectoarele unghiurilor rombului. Diagonalele împart rombul în patru triunghiuri dreptunghice congruente. Aria rombului se calculează cel mai simplu cu semiprodusul diagonalelor: $A = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$; se poate folosi și $A = b \cdot h$ (bază $\times$ înălțime), la fel ca la orice paralelogram. Perimetrul este $P = 4l$. Rombul are două axe de simetrie (cele două diagonale) și un centru de simetrie.

Pătratul

Pătratul este în același timp dreptunghi și romb: are toate laturile congruente ȘI toate unghiurile drepte. Prin urmare cumulează toate proprietățile ambelor. Diagonalele pătratului sunt congruente (ca la dreptunghi), perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor (ca la romb), și se înjumătățesc. Diagonala pătratului de latură $l$ este $d = l\sqrt{2}$ (din Pitagora: $d^2 = l^2 + l^2 = 2l^2$). Aria este $A = l^2 = \dfrac{d^2}{2}$, perimetrul $P = 4l$. Pătratul are patru axe de simetrie (cele două diagonale și cele două mediatoare ale laturilor) și un centru de simetrie — este cel mai simetric patrulater.

Cum le recunoaștem

O schemă utilă de decizie pentru un paralelogram: dacă diagonalele sunt egale → dreptunghi; dacă diagonalele sunt perpendiculare → romb; dacă sunt și egale și perpendiculare → pătrat. Aceste criterii (reciprocele) sunt foarte des folosite în probleme de tip „arată că patrulaterul este dreptunghi/romb/pătrat”.