Trapezul: clasificare, trapezul isoscel, linia mijlocie a trapezului

Definiție

Trapezul este patrulaterul convex care are exact două laturi paralele, numite baze. Baza mai lungă se notează de obicei $B$ (baza mare), iar cealaltă $b$ (baza mică). Celelalte două laturi, neparalele, se numesc laturi laterale (sau picioare). Distanța dintre baze — lungimea segmentului perpendicular dus dintr-o bază pe cealaltă — este înălțimea trapezului, notată $h$.

Deoarece bazele sunt paralele, tăiate de o latură laterală (secantă), unghiurile de pe aceeași latură laterală (alăturate aceleiași laturi) sunt suplementare: suma lor este $180^\circ$. Astfel, într-un trapez $ABCD$ cu $AB \parallel CD$, avem $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ$ și $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.

Clasificare

După laturile laterale, deosebim:

• Trapezul oarecare — laturile laterale au lungimi diferite și nu formează unghiuri drepte cu bazele.
• Trapezul dreptunghic — o latură laterală este perpendiculară pe baze; această latură coincide cu înălțimea. Are două unghiuri drepte (alăturate laturii perpendiculare).
• Trapezul isoscel — laturile laterale sunt congruente (egale).

Trapezul isoscel

Trapezul isoscel are proprietăți importante, foarte des folosite în probleme:

1. Laturile laterale sunt congruente: $AD \equiv BC$.
2. Unghiurile alăturate fiecărei baze sunt congruente: unghiurile de la baza mare sunt egale între ele, la fel cele de la baza mică. Deci $\widehat{A} \equiv \widehat{B}$ și $\widehat{C} \equiv \widehat{D}$.
3. Diagonalele sunt congruente: $AC \equiv BD$.
4. Are o axă de simetrie: mediatoarea comună a celor două baze (perpendiculara pe baze prin mijloacele lor).

Reciproc, dacă într-un trapez diagonalele sunt congruente (sau unghiurile alăturate unei baze sunt congruente), atunci trapezul este isoscel — criteriu util în problemele de tip „arată că trapezul este isoscel”.

Linia mijlocie a trapezului

Linia mijlocie a unui trapez este segmentul care unește mijloacele laturilor laterale (neparalele). Ea are două proprietăți fundamentale:

• este paralelă cu bazele;
• are lungimea egală cu media aritmetică a bazelor: $MN = \frac{B + b}{2}.$

De aici deducem relații utile: dacă știm linia mijlocie $m$ și o bază, aflăm cealaltă bază: $B = 2m - b$. De asemenea, distanța dintre linia mijlocie și fiecare bază este $\dfrac{h}{2}$, iar linia mijlocie împarte trapezul în două trapeze mai mici de înălțimi egale.

Aria trapezului

Aria trapezului se calculează cu formula: $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}.$

Deoarece $\dfrac{B+b}{2}$ este chiar linia mijlocie $m$, aria se poate scrie foarte simplu ca linia mijlocie înmulțită cu înălțimea: $A = m \cdot h$. Această legătură dintre linia mijlocie și arie apare frecvent în subiectele de examen și oferă o cale rapidă de calcul.