Breviarul complet de formule — Evaluarea Națională

Numere și algebră

Înmulțirea puterilor cu aceeași bază
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
bazele trebuie să fie egale; se adună exponenții, nu se înmulțesc
Împărțirea puterilor cu aceeași bază
$a^m:a^n=a^{m-n}$
necesită $a\neq0$ ; capcană: dacă $m<n$ și $a\in\mathbb{Z}$ , rezultatul poate să nu fie număr întreg
Puterea unei puteri
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$
exponenții se înmulțesc, nu se adună — greșeală frecventă
Puterea unui produs
$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$
se ridică la putere fiecare factor
Divizibilitate cu 2, 5, $10^n$
$2\mid n \Leftrightarrow \text{ultima cifră}\in\{0,2,4,6,8\};\quad 5\mid n \Leftrightarrow \text{ultima cifră}\in\{0,5\}$
pentru $10^n$ : ultimele $n$ cifre ale numărului sunt $0$
Divizibilitate cu 3, 9
$3\mid n \Leftrightarrow 3\mid S(n);\quad 9\mid n \Leftrightarrow 9\mid S(n)$
$S(n)$ = suma cifrelor lui $n$ ; nu există un criteriu simplu direct pentru 6, 7 sau 8
Zecimal periodic simplu
$0,(\overline{ab})=\dfrac{\overline{ab}}{99}$
$\overline{ab}$ este numărul format din cifrele care se repetă, NU un produs $a\cdot b$
Zecimal periodic mixt
$0,\overline{a}(\overline{b})=\dfrac{\overline{ab}-\overline{a}}{90}$
$\overline{ab}$ și $\overline{a}$ sunt numerele formate din cifrele respective; capcană: se confundă cu produsul cifrelor
Procent dintr-un număr
$p\%\ \text{din}\ x=\dfrac{p}{100}\cdot x$
folosit și pentru procente dintr-o fracție sau dintr-o mărime dintr-un tabel/grafic
Proprietatea fundamentală a proporțiilor
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ \Longleftrightarrow\ a\cdot d=b\cdot c$
produsul extremilor = produsul mezilor; bază pentru aflarea termenului necunoscut
Proporție derivată cu sumă
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ \Rightarrow\ \dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$
utilă când problema dă suma termenilor unui raport
Șir de rapoarte egale
$\dfrac{a_1}{b_1}=\cdots=\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{a_1+\cdots+a_n}{b_1+\cdots+b_n}$
folosit la împărțirea unui număr în părți direct proporționale
Regula de trei simplă (mărimi invers proporționale)
$x_1\cdot y_1=x_2\cdot y_2$
capcană: se confundă cu proporția directă $\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}$ , valabilă doar pentru mărimi direct proporționale
Media aritmetică
$m_a=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$
toate valorile au aceeași „pondere”
Media aritmetică ponderată
$m_p=\dfrac{x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}$
$p_i$ sunt ponderile (frecvențele); se folosește la media pe un tabel de frecvențe
Media geometrică a două numere pozitive
$m_g=\sqrt{a\cdot b}$
definită doar pentru $a,b\geq0$
Raționalizarea numitorului de forma $a\sqrt{b}$
$\dfrac{1}{a\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{b}}{a\cdot b}$
se amplifică fracția cu $\sqrt{b}$
Pătratul unui binom
$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
singurele formule de calcul prescurtat din programă, împreună cu diferența de pătrate — NU sunt în programă cubul sumei/diferenței sau $a^3\pm b^3$
Diferența de pătrate
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
se folosește frecvent și la descompuneri în factori sau la fracții algebrice
Probabilitatea unui eveniment
$P(\text{eveniment})=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$
cazurile posibile trebuie să fie egal probabile; $0\leq P\leq1$
Distanța dintre două puncte în plan
$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
capcană de semn: se scad coordonatele omoloage ( $x$ cu $x$ , $y$ cu $y$ ), ordinea punctelor nu contează (se ridică la pătrat)
Intersecțiile graficului funcției liniare cu axele
$f(x)=ax+b:\quad A\!\left(-\dfrac{b}{a},0\right)\in Ox,\ \ B(0,b)\in Oy$
$A$ se află rezolvând $ax+b=0$ ; $B$ se obține pentru $x=0$

Geometrie plană

Suma unghiurilor unui triunghi
$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ}$
bază pentru aflarea unui unghi necunoscut într-un triunghi
Suma unghiurilor unui patrulater convex
$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^{\circ}$
valabilă doar pentru patrulatere convexe
Teorema unghiului exterior
$\hat{e}=\hat{B}+\hat{C}$
unghiul exterior al unui triunghi (în vârful $A$ ) este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente lui
Linia mijlocie în triunghi
$MN=\dfrac{BC}{2}$
$MN$ unește mijloacele a două laturi și este paralelă cu a treia latură
Linia mijlocie a trapezului
$MN=\dfrac{B+b}{2}$
$B,b$ sunt bazele trapezului; $MN$ este paralelă cu bazele
Centrul de greutate al triunghiului
$AG=\dfrac{2}{3}\,AM$
$G$ este punctul de intersecție a medianelor, situat la $\frac{2}{3}$ din vârf pe fiecare mediană
Raportul ariilor triunghiurilor asemenea
$\dfrac{A_1}{A_2}=k^2$
$k$ este raportul de asemănare (raportul laturilor omoloage); capcană: se uită ridicarea la pătrat
Teorema înălțimii
$h^2=pr_1\cdot pr_2\quad\left(\text{sau}\ h=\dfrac{c_1\cdot c_2}{ip}\right)$
$pr_1,pr_2$ sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză; valabilă doar în triunghiul dreptunghic
Teorema catetei
$c^2=ip\cdot pr$
$pr$ este proiecția catetei $c$ pe ipotenuză
Teorema lui Pitagora
$ip^2=c_1^2+c_2^2$
valabilă doar în triunghiul dreptunghic; reciproca se folosește pentru a demonstra că un triunghi este dreptunghic
Tabelul valorilor trigonometrice pentru $30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ}$
$\begin{array}{c|ccc} & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} \\ \hline \sin & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\ \mathrm{tg} & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} \\ \mathrm{ctg} & \sqrt{3} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$
sin și cos sunt complementare ( $\sin30^\circ=\cos60^\circ$ etc.); tg = sin/cos, ctg = cos/sin
Cateta opusă unghiului de $30^{\circ}$
$c=\dfrac{ip}{2}$
valabilă și reciproc: dacă o catetă este jumătate din ipotenuză, unghiul opus ei este $30^\circ$
Mediana corespunzătoare ipotenuzei
$m=\dfrac{ip}{2}$
valabilă și reciproc, pentru a demonstra că un triunghi este dreptunghic
Aria triunghiului oarecare
$A=\dfrac{b\cdot h}{2}$
$h$ este înălțimea corespunzătoare bazei $b$
Aria triunghiului dreptunghic
$A=\dfrac{c_1\cdot c_2}{2}$
catetele sunt reciproc perpendiculare, deci una este „bază”, cealaltă „înălțime”
Aria triunghiului echilateral
$A=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\quad\left(h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\right)$
$l$ este latura triunghiului echilateral
Aria pătratului
$A=l^2$
—
Aria dreptunghiului
$A=L\cdot l$
capcană: NU se confundă cu aria paralelogramului (care nu este $L\cdot l$ dacă laturile nu sunt perpendiculare)
Aria paralelogramului
$A=b\cdot h$
capcană frecventă: se scrie greșit $A=$ latură $\times$ latură în loc de bază $\times$ înălțime
Aria rombului
$A=\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}$
$d_1,d_2$ sunt diagonalele rombului, perpendiculare între ele
Aria trapezului
$A=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}$
$B,b$ bazele, $h$ înălțimea (distanța dintre baze)
Lungimea cercului
$L=2\pi R$
—
Aria discului
$A=\pi R^2$
—
Latura și apotema triunghiului echilateral înscris în cerc
$l_3=R\sqrt{3},\qquad a_3=\dfrac{R}{2}$
$R$ este raza cercului circumscris
Latura și apotema pătratului înscris în cerc
$l_4=R\sqrt{2},\qquad a_4=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}$
—
Latura și apotema hexagonului regulat înscris în cerc
$l_6=R,\qquad a_6=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$
latura hexagonului regulat este egală cu raza cercului circumscris
Aria hexagonului regulat
$A=\dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2}$
$l$ este latura hexagonului

Geometrie în spațiu

Diagonala cubului
$d=l\sqrt{3}$
$l$ este muchia cubului
Diagonala paralelipipedului dreptunghic
$d^2=a^2+b^2+c^2$
$a,b,c$ sunt cele trei dimensiuni
Aria laterală a prismei drepte
$A_l=P_b\cdot h$
$P_b$ este perimetrul bazei, $h$ înălțimea prismei
Aria totală a prismei drepte
$A_t=A_l+2A_b$
$A_b$ este aria unei baze
Volumul prismei drepte
$V=A_b\cdot h$
valabil și pentru paralelipipedul dreptunghic ( $V=abc$ ) și cub ( $V=l^3$ ) ca particularizări
Aria laterală a piramidei regulate
$A_l=\dfrac{P_b\cdot a_p}{2}$
$a_p$ este apotema piramidei (nu apotema bazei!)
Aria totală a piramidei regulate
$A_t=A_l+A_b$
—
Volumul piramidei regulate
$V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}$
capcană: se uită împărțirea la $3$
Relația dintre apotema piramidei, înălțime și apotema bazei
$a_p^2=h^2+a_b^2$
triunghi dreptunghic format de înălțime, apotema bazei și apotema piramidei
Aria laterală a trunchiului de piramidă regulată
$A_l=\dfrac{(P_B+P_b)\cdot a_t}{2}$
$P_B,P_b$ perimetrele celor două baze, $a_t$ apotema trunchiului
Volumul trunchiului de piramidă regulată
$V=\dfrac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b}\right)$
$A_B,A_b$ ariile celor două baze
Aria laterală a cilindrului circular drept
$A_l=2\pi RG\quad(G=h)$
generatoarea $G$ este egală cu înălțimea la cilindrul drept
Aria totală a cilindrului
$A_t=2\pi R(R+G)$
—
Volumul cilindrului
$V=\pi R^2h$
—
Generatoarea conului circular drept
$G^2=h^2+R^2$
triunghi dreptunghic format de înălțime, rază și generatoare
Aria laterală a conului
$A_l=\pi RG$
—
Aria totală a conului
$A_t=\pi R(R+G)$
—
Volumul conului
$V=\dfrac{\pi R^2h}{3}$
capcană: se uită împărțirea la $3$ , la fel ca la piramidă
Aria laterală a trunchiului de con
$A_l=\pi G(R+r)$
$R,r$ razele celor două baze, $G$ generatoarea trunchiului
Volumul trunchiului de con
$V=\dfrac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right)$
—
Aria sferei
$A=4\pi R^2$
conținut exclus din simularea de martie
Volumul sferei
$V=\dfrac{4\pi R^3}{3}$
conținut exclus din simularea de martie
Înălțimea tetraedrului regulat
$h=\dfrac{l\sqrt{6}}{3}$
$l$ este muchia tetraedrului regulat
Teorema celor trei perpendiculare
$d\perp\alpha,\ AB\subset\alpha,\ OB\perp AB \ \Rightarrow\ OA\perp AB$
folosită pentru a construi/justifica unghiuri și distanțe punct–dreaptă în corpuri; conținut exclus din simularea de martie (împreună cu unghiul diedru și unghiul a două plane)