Paralelogramul: proprietăți; linia mijlocie în triunghi; centrul de greutate (aplicații)

Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele: în $ABCD$ avem $AB \parallel CD$ și $BC \parallel AD$. Din această definiție decurg proprietățile paralelogramului:

1. Laturile opuse sunt congruente: $AB = CD$ și $BC = AD$.
2. Unghiurile opuse sunt congruente: $\angle A = \angle C$ și $\angle B = \angle D$.
3. Unghiurile alăturate sunt suplementare: $\angle A + \angle B = 180^\circ$ (fiindcă sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei la drepte paralele).
4. Diagonalele se înjumătățesc: ele se intersectează într-un punct $O$ care este mijlocul fiecăreia, deci $OA = OC$ și $OB = OD$.

Criterii de paralelogram. Un patrulater convex este paralelogram dacă îndeplinește una dintre condițiile: (a) laturile opuse sunt paralele două câte două (definiția); (b) laturile opuse sunt congruente două câte două; (c) două laturi opuse sunt în același timp paralele și congruente; (d) unghiurile opuse sunt congruente; (e) diagonalele se înjumătățesc. Aceste criterii se folosesc pentru a demonstra că o figură este paralelogram.

Aria paralelogramului este $\mathcal{A} = b \cdot h$, unde $b$ este o latură (baza) și $h$ este înălțimea corespunzătoare, adică distanța dintre baza aleasă și latura opusă paralelă. Atenție: aria NU este produsul a două laturi alăturate! Doar la dreptunghi înălțimea coincide cu o latură. Perimetrul este $P = 2(AB + BC)$.

Aplicația 1 — linia mijlocie în triunghi. Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie. Dacă $M$ este mijlocul lui $[AB]$ și $N$ mijlocul lui $[AC]$, atunci $MN \parallel BC$ și $MN = \dfrac{BC}{2}$ (linia mijlocie este paralelă cu a treia latură și egală cu jumătate din ea). Reciproc: paralela dusă prin mijlocul unei laturi la o altă latură trece prin mijlocul celei de-a treia laturi. Demonstrația proprietății folosește chiar paralelogramul: prin construcție se obține un paralelogram în care $MN$ este jumătate dintr-o latură.

Aplicația 2 — centrul de greutate. Medianele unui triunghi (segmentele care unesc fiecare vârf cu mijlocul laturii opuse) sunt concurente într-un punct $G$ numit centrul de greutate al triunghiului. Punctul $G$ se află pe fiecare mediană la $\dfrac{2}{3}$ de vârf și la $\dfrac{1}{3}$ de bază: dacă $AM$ este mediană ($M$ mijlocul lui $[BC]$), atunci $AG = \dfrac{2}{3} AM$, $GM = \dfrac{1}{3} AM$, deci $AG = 2 \cdot GM$ (raportul $AG : GM = 2 : 1$).

De exemplu, într-un triunghi cu mediana $AM = 18$ cm, centrul de greutate împarte mediana astfel: $AG = \dfrac{2}{3}\cdot 18 = 12$ cm și $GM = \dfrac{1}{3}\cdot 18 = 6$ cm.