Patrulaterul convex; suma unghiurilor (360°)

Un patrulater este figura geometrică formată din patru puncte $A$, $B$, $C$, $D$ (oricare trei necoliniare), numite vârfuri, unite prin patru segmente $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$, numite laturi. Vârfurile $A$ și $C$, respectiv $B$ și $D$, se numesc vârfuri opuse, iar segmentele $[AC]$ și $[BD]$ care le unesc se numesc diagonale. Laturile $[AB]$ și $[CD]$, respectiv $[BC]$ și $[DA]$, sunt laturi opuse; $[AB]$ și $[BC]$ sunt laturi alăturate (au un vârf comun).

Un patrulater se numește convex dacă, prelungind oricare dintre laturi, celelalte vârfuri rămân de aceeași parte a dreptei obținute. Echivalent, un patrulater este convex dacă toate unghiurile sale au măsura mai mică de $180°$ și ambele diagonale sunt situate în interiorul său. Dacă un unghi depășește $180°$ (unghi reintrant), patrulaterul este concav (neconvex) și una dintre diagonale iese în exterior. În examen lucrăm doar cu patrulatere convexe.

Proprietatea fundamentală: suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este $360°$. Demonstrația este simplă: o diagonală, de exemplu $[AC]$, împarte patrulaterul $ABCD$ în două triunghiuri, $\triangle ABC$ și $\triangle ACD$. În fiecare triunghi suma unghiurilor este $180°$, iar cele două sume acoperă exact toate unghiurile patrulaterului. Astfel: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 180° + 180° = 360°$.

Această relație permite aflarea unui unghi când sunt cunoscute celelalte trei: $\angle D = 360° - (\angle A + \angle B + \angle C)$. De exemplu, dacă într-un patrulater convex $\angle A = 80°$, $\angle B = 100°$ și $\angle C = 90°$, atunci $\angle D = 360° - 270° = 90°$.

O consecință utilă privește unghiurile exterioare: la fiecare vârf, unghiul exterior este suplementul celui interior. Suma celor patru unghiuri exterioare (câte unul la fiecare vârf) este $4 \cdot 180° - 360° = 360°$ — deci și suma unghiurilor exterioare ale oricărui patrulater convex este $360°$.

Perimetrul unui patrulater este suma lungimilor laturilor: $P = AB + BC + CD + DA$.

Probleme tipice folosesc și proporționalitatea: dacă unghiurile sunt proporționale cu niște numere date, notăm valoarea comună cu $x$, scriem că suma este $360°$ și aflăm $x$. De exemplu, dacă unghiurile sunt proporționale cu $2$, $3$, $4$, $6$, atunci $2x + 3x + 4x + 6x = 360°$, adică $15x = 360°$, deci $x = 24°$, iar unghiurile sunt $48°$, $72°$, $96°$ și $144°$.