Rezolvarea triunghiului dreptunghic; elemente în triunghiul echilateral, pătrat, hexagonul regulat

Rezolvarea triunghiului dreptunghic înseamnă determinarea tuturor elementelor sale (laturi și unghiuri) pornind de la elemente cunoscute suficiente: două laturi, sau o latură și un unghi ascuțit. Instrumentele: suma unghiurilor ascuțite ($90^\circ$), teorema lui Pitagora și rapoartele trigonometrice ($\sin$, $\cos$, $\text{tg}$, $\text{ctg}$). Strategie: se scrie raportul trigonometric care leagă o latură cunoscută de una necunoscută prin unghiul cunoscut; când se cunosc două laturi, a treia iese din Pitagora, iar unghiurile din rapoarte.

Triunghiul echilateral cu latura $l$.

• Înălțimea (care este și mediană, bisectoare, mediatoare): $h = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}$.
• Aria: $\mathcal{A} = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}$; perimetrul: $P = 3l$.
• Apotema (raza cercului înscris): $a_3 = \dfrac{l\sqrt{3}}{6}$; raza cercului circumscris: $R = \dfrac{l\sqrt{3}}{3}$. (Centrul de greutate împarte înălțimea $2:1$: $R = \frac{2}{3}h$, $a_3 = \frac{1}{3}h$.)

Pătratul cu latura $l$.

• Diagonala: $d = l\sqrt{2}$.
• Aria: $\mathcal{A} = l^2$; perimetrul: $P = 4l$.
• Apotema: $a_4 = \dfrac{l}{2}$; raza cercului circumscris: $R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{l\sqrt{2}}{2}$.

Hexagonul regulat cu latura $l$. Se descompune în $6$ triunghiuri echilaterale cu latura $l$:

• Raza cercului circumscris: $R = l$ (proprietatea-cheie a hexagonului).
• Apotema: $a_6 = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}$ (înălțimea triunghiului echilateral).
• Aria: $\mathcal{A} = 6\cdot\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2}$; perimetrul: $P = 6l$.

Legătura cu cercul circumscris de rază $R$: $l_3 = R\sqrt{3}$ (triunghi echilateral înscris), $l_4 = R\sqrt{2}$ (pătrat înscris), $l_6 = R$ (hexagon înscris).

Aceste formule provin din rezolvarea triunghiurilor dreptunghice formate de rază, apotemă și jumătate de latură — de aceea merită înțelese, nu doar memorate: de exemplu, la hexagon, unghiul la centru este $\dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ$, deci triunghiul format de două raze și o latură este echilateral, de unde $l = R$. La examen, aceste elemente apar atât la Subiectul II (grile cu figuri), cât și la III (arii, perimetre, combinate cu trigonometrie sau relații metrice).

Metodă generală de lucru. Toate formulele poligoanelor regulate se reduc la același triunghi de bază: cel format de centrul poligonului, mijlocul unei laturi și un vârf — un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $R$, catetele $a$ (apotema) și $\frac{l}{2}$, și unghiul la centru înjumătățit ($30^\circ$ la hexagon, $45^\circ$ la pătrat, $60^\circ$ la triunghiul echilateral). Rezolvând acest triunghi cu trigonometrie sau Pitagora se regăsesc toate relațiile dintre $l$, $a$, $R$. De aceea, dacă la examen se dă un element „nestandard" (de exemplu apotema în loc de latură), nu e nevoie de formule suplimentare: se scrie triunghiul de bază și se rezolvă. Aria oricărui poligon regulat se poate calcula și ca $\mathcal{A} = \dfrac{P\cdot a}{2}$ (semiperimetrul înmulțit cu apotema), o formulă de rezervă utilă la verificări.