Elemente de trigonometrie: sin, cos, tg, ctg; tabelul valorilor pentru 30°, 45°, 60°

Fie triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ și un unghi ascuțit, de exemplu $\angle B$. Față de $\angle B$: cateta opusă este $[AC]$, cateta alăturată este $[AB]$, iar ipotenuza este $[BC]$.

Definițiile rapoartelor trigonometrice (pentru un unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic): $\sin B = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}} = \frac{AC}{BC}, \qquad \cos B = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuză}} = \frac{AB}{BC},$ $\text{tg}\,B = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}} = \frac{AC}{AB}, \qquad \text{ctg}\,B = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}} = \frac{AB}{AC}.$

Rapoartele nu depind de mărimea triunghiului (triunghiurile dreptunghice cu același unghi ascuțit sunt asemenea) — depind doar de măsura unghiului.

Tabelul valorilor:

	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$\text{tg}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$
$\text{ctg}$	$\sqrt{3}$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Relații utile (deduse din definiții):

• $\sin B = \cos C$ și $\cos B = \sin C$ pentru unghiuri complementare ($B + C = 90^\circ$);
• $\text{tg}\,B = \dfrac{\sin B}{\cos B}$, $\text{ctg}\,B = \dfrac{1}{\text{tg}\,B}$;
• $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ (identitatea fundamentală, consecință a teoremei lui Pitagora).

Cum se folosesc. Cunoscând o latură și un unghi ascuțit, se alege raportul care leagă latura cunoscută de cea căutată: de exemplu, dacă știm ipotenuza și vrem cateta opusă unghiului, folosim sinusul: cateta $=$ ipotenuza $\cdot \sin$. Valorile din tabel trebuie știute pe de rost — apar direct la grile și în problemele cu unghiuri de $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ (triunghiul echilateral tăiat de înălțime dă $30^\circ$–$60^\circ$; pătratul tăiat de diagonală dă $45^\circ$).

Observații care ajută la calcul. Sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit sunt întotdeauna numere cuprinse strict între $0$ și $1$ (cateta este mai scurtă decât ipotenuza), în timp ce tangenta poate depăși $1$ (pentru unghiuri peste $45^\circ$). Sinusul crește când unghiul crește, iar cosinusul scade — o verificare rapidă a plauzibilității rezultatelor. Valorile pentru $30^\circ$ și $60^\circ$ se deduc din jumătatea unui triunghi echilateral (cateta opusă lui $30^\circ$ este $\frac{l}{2}$, înălțimea este $\frac{l\sqrt{3}}{2}$), iar cele pentru $45^\circ$ dintr-un pătrat tăiat de diagonală — dacă tabelul se uită, el se poate reconstrui în câteva rânduri. La probleme, întâi se marchează unghiul cunoscut pe figură, apoi se etichetează catetele ca „opusă" și „alăturată" față de el și abia apoi se alege raportul.