Relații metrice în triunghiul dreptunghic: proiecții ortogonale; teorema înălțimii; teorema catetei; teorema lui Pitagora + reciproca

Fie triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $BC = a$, catetele $AB = c$, $AC = b$, și $D$ piciorul înălțimii din $A$ pe ipotenuză ($AD = h$).

Proiecții ortogonale. Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei din punct pe dreaptă; proiecția unui segment este segmentul determinat de proiecțiile capetelor. În configurația noastră, $BD$ este proiecția catetei $AB$ pe ipotenuză, iar $DC$ este proiecția catetei $AC$ pe ipotenuză. Evident $BD + DC = BC$.

Teorema înălțimii. Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a proiecțiilor catetelor pe ipotenuză: $AD^2 = BD\cdot DC.$ Formă echivalentă, foarte utilă la calcule: $h = \dfrac{b\cdot c}{a}$ (înălțimea = produsul catetelor împărțit la ipotenuză, obținută egalând cele două exprimări ale ariei).

Teorema catetei. Fiecare catetă este media geometrică între ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză: $AB^2 = BC\cdot BD, \qquad AC^2 = BC\cdot DC.$

Teorema lui Pitagora. Pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor: $BC^2 = AB^2 + AC^2.$ (Se obține și adunând cele două forme ale teoremei catetei.) Din ea se deduce orice latură când se cunosc celelalte două: $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ etc.

Reciproca teoremei lui Pitagora. Dacă într-un triunghi pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două ($a^2 = b^2 + c^2$), atunci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii $a$. Se folosește pentru a demonstra perpendicularitatea. Triplete pitagorice frecvente: $(3,4,5)$, $(6,8,10)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$ — și multiplii lor.

Strategia de rezolvare. Într-o problemă cu triunghi dreptunghic și înălțime pe ipotenuză, avem cinci segmente ($b$, $c$, $h$, $BD$, $DC$) și ipotenuza $a$; cunoscând oricare două dintre ele, celelalte se determină în lanț cu cele trei teoreme. Alegerea teoremei potrivite: dacă apare înălțimea și proiecțiile — teorema înălțimii; catetă și proiecția sa — teorema catetei; două laturi — Pitagora. Aceste combinații („relații metrice combos") sunt materia clasică a subpunctelor b) de nota 10.