Asemănarea triunghiurilor: criterii; teorema fundamentală; raportul ariilor

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile respectiv proporționale. Se notează $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ (ordinea vârfurilor codează corespondența). Raportul laturilor corespondente se numește raport de asemănare: $k = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}.$

Criteriile de asemănare.

• UU: două perechi de unghiuri respectiv congruente (al treilea rezultă automat).
• LUL (de asemănare): două perechi de laturi proporționale și unghiurile dintre ele congruente.
• LLL (de asemănare): toate cele trei perechi de laturi proporționale.

Criteriul UU este de departe cel mai folosit: unghiuri opuse la vârf, unghiuri formate de paralele cu o secantă, unghiul comun a două triunghiuri „suprapuse" — toate conduc la asemănare.

Teorema fundamentală a asemănării. O paralelă la una dintre laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu cel dat: dacă $DE\parallel BC$ ($D\in AB$, $E\in AC$), atunci $\triangle ADE \sim \triangle ABC \quad\text{și}\quad \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}.$ Spre deosebire de Thales, teorema fundamentală dă și raportul segmentului paralel ($DE/BC$).

Proprietăți ale triunghiurilor asemenea. Raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare $k$. Rapoartele elementelor liniare corespondente (înălțimi, mediane, bisectoare) sunt tot $k$. Raportul ariilor este $k^2$: $\frac{\mathcal{A}_{\triangle ABC}}{\mathcal{A}_{\triangle A'B'C'}} = k^2.$ Exemplu: dacă laturile sunt în raportul $\frac{2}{3}$, ariile sunt în raportul $\frac{4}{9}$.

Aplicații practice. Asemănarea permite aproximarea distanțelor inaccesibile (înălțimea unui copac din umbra sa, lățimea unui râu): se identifică două triunghiuri asemenea (UU, de regulă cu unghiuri drepte și un unghi comun de rază de soare/vizare) și se scrie proporția.

La examen, asemănarea apare în configurații compuse: trapez cu diagonale, paralele duse prin puncte de pe laturi, triunghiuri dreptunghice cu înălțime — recunoașterea perechii corecte de triunghiuri și scrierea ordonată a proporției fac diferența la subpunctele b).

Cum se scrie corect o asemănare. Primul pas este stabilirea corespondenței vârfurilor: vârfurile cu unghiuri congruente se scriu pe aceleași poziții. Abia apoi se scrie șirul de rapoarte, citind laturile în ordinea vârfurilor: $\dfrac{AB}{MN} = \dfrac{BC}{NP} = \dfrac{CA}{PM}$. O corespondență scrisă greșit produce proporții false chiar dacă asemănarea în sine e corectă. În configurația „triunghi în triunghi" (unghi comun), perechile de laturi corespondente sunt cele opuse unghiurilor congruente, nu cele care „arată la fel" pe desen. La subpunctele b) grele, asemănarea se combină adesea cu relațiile metrice sau cu ariile: se demonstrează întâi asemănarea (UU), se scrie proporția, iar din ea se extrage produsul sau raportul cerut.