Segmente proporționale; teorema paralelelor echidistante; teorema lui Thales + reciproca

Rapoarte de segmente. Segmente proporționale. Raportul a două segmente este raportul lungimilor lor (exprimate în aceeași unitate). Patru segmente sunt proporționale dacă rapoartele formate sunt egale: $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{EF}{GH}$. Proprietatea fundamentală a proporției (produsul mezilor = produsul extremilor) permite aflarea unui termen necunoscut.

Teorema paralelelor echidistante. Dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină segmente congruente pe orice altă secantă. Este cazul particular „echidistant" al teoremei lui Thales și stă la baza împărțirii unui segment în părți congruente.

Teorema lui Thales. O paralelă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile lor) segmente proporționale. Concret, în triunghiul $ABC$, dacă $DE \parallel BC$ cu $D\in AB$, $E\in AC$: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}.$ Forme echivalente (derivate prin proporții): $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ și $\dfrac{DB}{AB} = \dfrac{EC}{AC}$.

Atenție: teorema lui Thales, singură, NU dă raportul $\dfrac{DE}{BC}$ — pentru segmentul paralel este nevoie de teorema fundamentală a asemănării (lecția următoare).

Reciproca teoremei lui Thales. Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi segmente proporționale ($\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ cu $D\in AB$, $E\in AC$), atunci dreapta $DE$ este paralelă cu a treia latură $BC$. Reciproca este instrumentul standard pentru a demonstra paralelismul a două drepte prin calcul de rapoarte.

Împărțirea unui segment în părți proporționale. Cu ajutorul teoremei paralelelor echidistante (sau al lui Thales) se poate împărți un segment dat în $n$ părți congruente sau în părți proporționale cu numere date: se duce o semidreaptă auxiliară, se marchează diviziuni egale și se duc paralele.

Cum se aplică la examen. Tipic: se dă $DE\parallel BC$ și trei dintre cele patru segmente $AD$, $DB$, $AE$, $EC$ — se scrie proporția Thales și se rezolvă. Sau invers: se dau cele patru segmente și se cere să se arate paralelismul (reciproca). Greșeala frecventă este amestecarea rapoartelor („parte din latură" cu „parte din parte") — proporția trebuie scrisă consecvent.