Proprietățile triunghiului isoscel, echilateral, dreptunghic

Triunghiul isoscel ($AB = AC$, baza $[BC]$).

• Unghiurile de la bază sunt congruente: $\angle B \equiv \angle C$. Reciproc: dacă un triunghi are două unghiuri congruente, este isoscel.
• În vârful $A$, bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea bazei coincid (axa de simetrie). Reciproc: dacă într-un triunghi două dintre aceste linii din același vârf coincid, triunghiul este isoscel.

Triunghiul echilateral ($AB = BC = CA$).

• Toate unghiurile au $60^\circ$. Reciproc: un triunghi cu toate unghiurile congruente (sau cu două unghiuri de $60^\circ$) este echilateral.
• Orice linie importantă dintr-un vârf coincide cu celelalte; centrele $I$, $O$, $G$, $H$ coincid.
• Un triunghi isoscel cu un unghi de $60^\circ$ este echilateral.

Triunghiul dreptunghic (unghi drept în $A$; ipotenuza $[BC]$, catetele $[AB]$, $[AC]$).

• Unghiurile ascuțite sunt complementare: $m(\angle B) + m(\angle C) = 90^\circ$.
• Teorema catetei opuse unghiului de $30^\circ$: cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este jumătate din ipotenuză: $m(\angle C) = 30^\circ \Rightarrow AB = \frac{BC}{2}.$ Reciproca: dacă o catetă este jumătate din ipotenuză, unghiul opus ei are $30^\circ$.
• Teorema medianei din vârful drept: mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză: $AM = \frac{BC}{2},\quad M \text{ mijlocul lui } [BC].$ Reciproca: dacă într-un triunghi mediana dintr-un vârf este jumătate din latura opusă, triunghiul este dreptunghic în acel vârf.

Aceste două teoreme (cu reciprocele lor) sunt printre cele mai testate rezultate la examen. Exemplu tipic: într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de $30^\circ$ și ipotenuza de $12$ cm, cateta opusă unghiului de $30^\circ$ are $6$ cm; combinând cu Pitagora se obține și cealaltă catetă, $6\sqrt{3}$ cm.

Cum recunoaștem configurațiile. Dacă apare un unghi de $30^\circ$ sau $60^\circ$ într-un dreptunghic — folosim teorema unghiului de $30^\circ$. Dacă apare mijlocul ipotenuzei — mediana. Dacă mediana e jumătate din latură — reciproc, unghi drept. Aceste „declanșatoare" scurtează mult rezolvările la Subiectul II și III.