Drepte perpendiculare; distanța de la un punct la o dreaptă; mediatoarea; simetria față de o dreaptă

Drepte perpendiculare. Două drepte sunt perpendiculare dacă la intersecție formează un unghi drept (și, automat, toate cele patru unghiuri sunt drepte). Se notează $a\perp b$. Printr-un punct dat se poate duce o singură perpendiculară pe o dreaptă dată.

Distanța de la un punct la o dreaptă. Fie $P$ un punct și $d$ o dreaptă. Piciorul perpendicularei din $P$ pe $d$ este punctul $Q\in d$ cu $PQ\perp d$. Distanța de la $P$ la $d$ este lungimea segmentului $[PQ]$ (a perpendicularei), și este cea mai scurtă dintre distanțele de la $P$ la punctele dreptei. Orice altă distanță $PR$ (cu $R\in d$, $R\neq Q$) este o oblică și $PR>PQ$. Oblicele egale se depărtează egal de piciorul perpendicularei.

Mediatoarea unui segment. Mediatoarea segmentului $[AB]$ este dreapta perpendiculară pe $[AB]$ în mijlocul său. Proprietatea caracteristică: $M \text{ este pe mediatoarea lui } [AB] \iff MA = MB.$ Cu alte cuvinte, mediatoarea este locul geometric al punctelor egal depărtate de capetele segmentului. Din această proprietate rezultă concurența mediatoarelor unui triunghi (centrul cercului circumscris).

Simetria față de o dreaptă (simetria axială). Simetricul punctului $P$ față de dreapta $d$ este punctul $P'$ astfel încât $d$ este mediatoarea segmentului $[PP']$. Deci $d\perp PP'$ și $d$ trece prin mijlocul lui $[PP']$; punctele de pe $d$ sunt propriile lor simetrice (puncte fixe). Simetria axială păstrează distanțele (este o izometrie): dacă $A\mapsto A'$ și $B\mapsto B'$, atunci $AB=A'B'$. O figură are axă de simetrie $d$ dacă simetricul fiecărui punct al figurii față de $d$ aparține tot figurii (ex.: mediatoarea unui segment este axă de simetrie a segmentului; bisectoarea unui unghi este axă de simetrie a unghiului).

Legături importante. Distanța dintre două drepte paralele este lungimea unei perpendiculare comune. Într-un triunghi isoscel, mediatoarea bazei, bisectoarea unghiului de la vârf, mediana și înălțimea din vârf coincid (axa de simetrie a triunghiului). Aceste proprietăți sunt folosite masiv la demonstrațiile de congruență și la calcule de distanțe.