Drepte paralele; axioma paralelelor; criterii de paralelism (unghiuri alterne interne/externe, corespondente)

Drepte paralele. Două drepte din același plan sunt paralele dacă nu au niciun punct comun. Se notează $a\parallel b$. Prin convenție, o dreaptă este paralelă cu ea însăși.

Axioma paralelelor (a lui Euclid). Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură dreaptă paralelă cu dreapta dată.

Consecințe utile:

• Dacă $a\parallel b$ și $b\parallel c$, atunci $a\parallel c$ (tranzitivitate).
• Dacă $a\parallel b$ și o dreaptă $d$ o intersectează pe $a$, atunci $d$ o intersectează și pe $b$.
• Două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele.

Unghiuri formate de două drepte cu o secantă. Fie dreptele $a$ și $b$ tăiate de secanta $t$. Se formează 8 unghiuri, grupate în perechi:

• Alterne interne: de o parte și de alta a secantei, între cele două drepte (ex. $\angle 3$ și $\angle 5$).
• Alterne externe: de o parte și de alta a secantei, în exteriorul dreptelor.
• Corespondente: de aceeași parte a secantei, unul interior și celălalt exterior, „în aceeași poziție" (ex. $\angle 1$ și $\angle 5$).
• Interne de aceeași parte (conjugate interne): de aceeași parte a secantei, ambele între drepte — sunt suplementare când dreptele sunt paralele.

Criteriile de paralelism. Două drepte tăiate de o secantă sunt paralele dacă și numai dacă:

• unghiurile alterne interne sunt congruente, sau
• unghiurile alterne externe sunt congruente, sau
• unghiurile corespondente sunt congruente, sau
• unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare (suma $180^\circ$).

Reciproc (proprietatea dreptelor paralele): dacă $a\parallel b$, atunci perechile de mai sus au proprietățile respective. Practic: $a\parallel b \iff \text{alterne interne congruente} \iff \text{corespondente congruente}.$

Aceste criterii sunt „motorul" multor demonstrații: pentru a arăta că două drepte sunt paralele, căutăm o secantă și o pereche de unghiuri congruente; invers, din paralelism deducem congruențe de unghiuri (folosite la suma unghiurilor triunghiului, paralelograme, trapez etc.). La Subiectul II apar frecvent figuri cu două paralele tăiate de o secantă, unde trebuie citit corect tipul perechii de unghiuri.