Drepte paralele; axioma paralelelor; criterii de paralelism (unghiuri alterne interne/externe, corespondente)

Lecția 3 din 23≈ 3 min de citit

Drepte paralele. Două drepte din același plan sunt paralele dacă nu au niciun punct comun. Se notează $a\parallel b$ . Prin convenție, o dreaptă este paralelă cu ea însăși.

Axioma paralelelor (a lui Euclid). Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură dreaptă paralelă cu dreapta dată.

Consecințe utile:

Dacă $a\parallel b$ și $b\parallel c$ , atunci $a\parallel c$ (tranzitivitate).
Dacă $a\parallel b$ și o dreaptă $d$ o intersectează pe $a$ , atunci $d$ o intersectează și pe $b$ .
Două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele.

Unghiuri formate de două drepte cu o secantă. Fie dreptele $a$ și $b$ tăiate de secanta $t$ . Se formează 8 unghiuri, grupate în perechi:

Alterne interne: de o parte și de alta a secantei, între cele două drepte (ex. $\angle 3$ și $\angle 5$ ).
Alterne externe: de o parte și de alta a secantei, în exteriorul dreptelor.
Corespondente: de aceeași parte a secantei, unul interior și celălalt exterior, „în aceeași poziție" (ex. $\angle 1$ și $\angle 5$ ).
Interne de aceeași parte (conjugate interne): de aceeași parte a secantei, ambele între drepte — sunt suplementare când dreptele sunt paralele.

Criteriile de paralelism. Două drepte tăiate de o secantă sunt paralele dacă și numai dacă:

unghiurile alterne interne sunt congruente, sau
unghiurile alterne externe sunt congruente, sau
unghiurile corespondente sunt congruente, sau
unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare (suma $180^\circ$ ).

Reciproc (proprietatea dreptelor paralele): dacă $a\parallel b$ , atunci perechile de mai sus au proprietățile respective. Practic: $a\parallel b \iff \text{alterne interne congruente} \iff \text{corespondente congruente}.$

Aceste criterii sunt „motorul" multor demonstrații: pentru a arăta că două drepte sunt paralele, căutăm o secantă și o pereche de unghiuri congruente; invers, din paralelism deducem congruențe de unghiuri (folosite la suma unghiurilor triunghiului, paralelograme, trapez etc.). La Subiectul II apar frecvent figuri cu două paralele tăiate de o secantă, unde trebuie citit corect tipul perechii de unghiuri.

Formule

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, tăiate de secanta $t$ . Un unghi altern intern are măsura $63^\circ$ . Aflați măsurile celorlalte unghiuri interne formate.

Vezi rezolvarea

Fie unghiul dat de $63^\circ$ unul dintre cele patru unghiuri interne. Perechea sa alternă internă este congruentă, deci celălalt unghi altern intern are tot $63^\circ$ .

Unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare (dreptele fiind paralele): $180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$ . Deci cele patru unghiuri interne au măsurile $63^\circ$ , $63^\circ$ , $117^\circ$ , $117^\circ$ .

Verificare: unghiurile de aceeași parte $63^\circ + 117^\circ = 180^\circ$ . Corect.

Greșeli frecvente

Ai terminat lecția

Exersează această lecție →Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.

Înapoi la toate lecțiile de Geometrie plană