Triunghiul: clasificare, perimetru, suma unghiurilor, teorema unghiului exterior, inegalități între elemente

Triunghiul este figura determinată de trei puncte necoliniare $A$, $B$, $C$ (vârfuri) și segmentele care le unesc (laturi). Elementele: trei laturi ($[AB]$, $[BC]$, $[CA]$) și trei unghiuri ($\angle A$, $\angle B$, $\angle C$). Perimetrul: $P = AB + BC + CA$.

Clasificare.

• După laturi: scalen (toate laturile diferite), isoscel (două laturi congruente), echilateral (toate laturile congruente).
• După unghiuri: ascuțitunghic (toate unghiurile ascuțite), dreptunghic (un unghi drept), obtuzunghic (un unghi obtuz).

Suma unghiurilor unui triunghi. În orice triunghi: $m(\angle A) + m(\angle B) + m(\angle C) = 180^\circ.$ Consecințe: un triunghi are cel mult un unghi drept sau obtuz; unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare (suma $90^\circ$); un triunghi echilateral are toate unghiurile de $60^\circ$.

Unghiul exterior al unui triunghi este suplementul unui unghi interior (format de o latură cu prelungirea alteia). Teorema unghiului exterior: măsura unui unghi exterior este egală cu suma măsurilor celor două unghiuri interioare neadiacente lui: $m(\angle \text{ext.}_A) = m(\angle B) + m(\angle C).$ De aici rezultă că un unghi exterior este mai mare decât fiecare dintre unghiurile interioare neadiacente.

Inegalități între elemente.

• Inegalitatea triunghiului: fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două și mai mare decât diferența lor (modulul): $|b - c| < a < b + c.$ Trei segmente pot forma un triunghi doar dacă cea mai lungă este mai scurtă decât suma celorlalte două.
• Relația latură-unghi: într-un triunghi, la unghi mai mare se opune latură mai mare și reciproc: $m(\angle A) > m(\angle B) \iff a > b.$ Astfel, în orice triunghi, latura opusă celui mai mare unghi este cea mai lungă. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza (opusă unghiului drept) este cea mai lungă latură.

Aceste rezultate se folosesc constant: la determinarea unghiurilor lipsă, la verificarea existenței unui triunghi, la compararea laturilor și în demonstrațiile de la Subiectul III (de exemplu, „arătați că unghiul... este cel mai mare").