Unghiul: măsură, clasificare, congruență; calcule cu grade și minute; unghiuri opuse la vârf, suplementare, complementare, adiacente; bisectoarea

Unghiul este figura formată de două semidrepte cu aceeași origine (vârful unghiului). Semidreptele sunt laturile. Se notează $\angle AOB$ sau $\widehat{AOB}$, unde $O$ este vârful. Măsura se exprimă în grade sexagesimale: $1^\circ = 60'$ (minute), $1' = 60''$ (secunde).

Clasificarea după măsură. Unghi nul ($0^\circ$); ascuțit ($0^\circ<x<90^\circ$); drept ($90^\circ$); obtuz ($90^\circ<x<180^\circ$); alungit/cu laturile în prelungire ($180^\circ$). Două unghiuri sunt congruente dacă au aceeași măsură.

Calcule cu grade și minute. Adunarea și scăderea se fac pe „coloane": grade cu grade, minute cu minute, cu report la $60'=1^\circ$. De exemplu $48^\circ 37' + 25^\circ 40' = 73^\circ 77' = 74^\circ 17'$. La scădere se împrumută $1^\circ = 60'$: $90^\circ - 34^\circ 25' = 89^\circ 60' - 34^\circ 25' = 55^\circ 35'$.

Perechi de unghiuri.

• Complementare: suma măsurilor este $90^\circ$. Complementul lui $x$ este $90^\circ - x$.
• Suplementare: suma măsurilor este $180^\circ$. Suplementul lui $x$ este $180^\circ - x$.
• Adiacente: au același vârf, o latură comună și interioarele disjuncte (de o parte și de alta a laturii comune).
• Opuse la vârf: laturile unuia sunt prelungirile laturilor celuilalt. Unghiurile opuse la vârf sunt congruente.

Când două drepte se intersectează, se formează două perechi de unghiuri opuse la vârf (congruente) și patru perechi de unghiuri adiacente suplementare.

Bisectoarea unghiului. Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârf care împarte unghiul în două unghiuri congruente. Dacă $[OM$ este bisectoarea lui $\angle AOB$, atunci $m(\angle AOM) = m(\angle MOB) = \frac{m(\angle AOB)}{2}.$ Un punct de pe bisectoare este egal depărtat de laturile unghiului (proprietate folosită mai târziu la cercul înscris).

Unghiuri în jurul unui punct. Suma unghiurilor în jurul unui punct este $360^\circ$; suma unghiurilor de aceeași parte a unei drepte (pe un semiplan, cu vârful pe dreaptă) este $180^\circ$.

Aceste relații sunt esențiale la Subiectul II (itemul 2 este aproape mereu despre unghiuri) și apar constant în demonstrațiile de la Subiectul III (unghiuri la paralele, în triunghi etc.).