Punct, dreaptă, semidreaptă, segment; coliniaritate; mijlocul segmentului; simetricul unui punct

Punctul, dreapta și planul sunt noțiuni primare (nu se definesc, ci se descriu). Punctul se notează cu literă mare: $A$ , $B$ , $M$ . Dreapta se notează cu o literă mică ( $d$ , $a$ ) sau prin două puncte ale ei: dreapta $AB$ . Segmentul $[AB]$ este porțiunea de dreaptă cuprinsă între punctele $A$ și $B$ (capetele segmentului); lungimea lui se notează $AB$ . Semidreapta $[AB$ pornește din originea $A$ și trece prin $B$ .

Poziții relative. Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă (axioma dreptei). Două drepte din plan pot fi: concurente (au un singur punct comun), paralele (nu au niciun punct comun) sau confundate.

Puncte coliniare. Trei sau mai multe puncte sunt coliniare dacă aparțin aceleiași drepte. Punctul $B$ se află între $A$ și $C$ (cu $A$ , $B$ , $C$ coliniare) dacă și numai dacă Aceasta este relația-cheie: dacă , atunci ; dacă , punctele nu sunt coliniare (sau nu e între ele).

Segmente congruente. Două segmente sunt congruente dacă au aceeași lungime: $[AB]\equiv[CD]\iff AB=CD$ .

Mijlocul segmentului. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $[AB]$ dacă $M\in[AB]$ și $MA=MB$ . Atunci Mijlocul este unic. Pe axa numerelor, dacă are coordonata și are coordonata , mijlocul are coordonata .

Simetricul unui punct față de un punct. Simetricul lui $A$ față de $O$ este punctul $A'$ pentru care $O$ este mijlocul segmentului $[AA']$ . Deci și ; rezultă . Punctul este propriul său simetric față de el însuși, iar simetricul mijlocului față de un capăt se calculează folosind relații de lungimi.

Măsurare și unități. Lungimile se exprimă în unități de măsură (mm, cm, m, km); $1\text{ m}=100\text{ cm}=1000\text{ mm}$ . La probleme cu segmente pe o dreaptă se lucrează cu relația „suma părților = întregul" și cu împărțiri în raporturi date.

Aceste noțiuni stau la baza întregii geometrii: recunoașterea coliniarității, calculul lungimilor prin adunare/scădere de segmente și localizarea mijlocului sunt folosite constant în problemele de la Subiectul II și III.

Formule

Coliniaritate (B între A și C): $AB + BC = AC$
Mijlocul segmentului: $MA = MB = \frac{AB}{2}$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare, în această ordine, cu $AB = 5$ cm și $BC = 3$ cm. Aflați lungimea segmentului și lungimea segmentului determinat de mijloacele lui și .

Greșeli frecvente

Aplicarea relației $AB+BC=AC$ fără a verifica ordinea punctelor: dacă $B$ nu este între $A$ și $C$, relația nu mai este validă (poate fi $AC+CB=AB$).
Confundarea segmentului $[AB]$ (mulțime de puncte) cu lungimea sa $AB$ (număr). Notațiile sunt diferite.
La simetricul față de un punct se uită că $O$ trebuie să fie mijloc: se pune $OA'=2\cdot OA$ în loc de $OA'=OA$.
La calculul unui segment dintre două mijloace se adună greșit când mijloacele sunt de aceeași parte a unui punct (trebuie scădere), respectiv de o parte și de alta (adunare).

Pe scurt

Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.
$A$ , $B$ , $C$ coliniare cu $B$ între ele $\iff AB+BC=AC$ .

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.

Înapoi la toate lecțiile de Geometrie plană