Media aritmetică, media aritmetică ponderată, media geometrică

Media aritmetică a $n$ numere reale $x_1, x_2, ..., x_n$ este suma lor împărțită la numărul lor: $m_a=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ De exemplu, media aritmetică a numerelor $7$, $9$ și $14$ este $\dfrac{7+9+14}{3}=\dfrac{30}{3}=10$. Media aritmetică este întotdeauna cuprinsă între cel mai mic și cel mai mare dintre numere. Dintr-o medie cunoscută se poate afla suma numerelor: $x_1+x_2+\cdots+x_n=n\cdot m_a$ — proprietate utilă în problemele în care se dă media și se cere un termen lipsă.

Media aritmetică ponderată se folosește atunci când numerele nu au aceeași importanță (aceeași „pondere”): fiecare număr $x_i$ intervine cu ponderea $p_i$ (de câte ori se repetă sau ce greutate are). Formula este: $m_p=\frac{x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+\cdots+x_n\cdot p_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}$ Exemplu tipic: un elev are nota $8$ de două ori, nota $10$ de trei ori și nota $6$ o dată; media sa este $\dfrac{8\cdot 2+10\cdot 3+6\cdot 1}{2+3+1}=\dfrac{52}{6}=8{,}(6)$. Atenție: la numitor se adună ponderile, nu numărul de valori distincte.

Media geometrică (media proporțională) a două numere reale pozitive $a$ și $b$ este rădăcina pătrată a produsului lor: $m_g=\sqrt{a\cdot b}$ De exemplu, media geometrică a numerelor $4$ și $9$ este $\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$, iar media geometrică a numerelor $8$ și $18$ este $\sqrt{144}=12$. Media geometrică este definită doar pentru numere pozitive și apare frecvent în geometrie (teorema înălțimii și teorema catetei exprimă lungimi ca medii geometrice).

Între cele două medii ale acelorași două numere pozitive există relația $m_g\le m_a$ (media geometrică nu depășește media aritmetică), cu egalitate doar când numerele sunt egale. De exemplu, pentru $4$ și $9$: $m_g=6$ și $m_a=\dfrac{4+9}{2}=6{,}5$, deci $m_g<m_a$.

Determinarea unui termen necunoscut din media geometrică se face ridicând relația la pătrat: dacă $\sqrt{x\cdot b}=m$, atunci $x\cdot b=m^2$, deci $x=\dfrac{m^2}{b}$. De exemplu, dacă media geometrică a numerelor $x$ și $8$ este $12$, atunci $8x=144$, deci $x=18$.

În problemele de examen, mediile apar atât în calcule directe (Subiectul I), cât și în probleme cu note școlare, prețuri medii sau termeni necunoscuți determinați din media dată. Tipare frecvente: se dă media unui grup de numere și un termen se cere (se trece prin suma totală $n\cdot m_a$); se dau două medii pe subgrupe și se cere media întregului grup (care este media ponderată a celor două medii, cu ponderile egale cu numărul de elemente din fiecare subgrupă); se cere verificarea inegalității $m_g\le m_a$ pe un exemplu numeric concret.