Operații cu numere reale; raționalizarea numitorului de forma $a\sqrt{b}$

Numerele reale (raționale sau iraționale) se adună, se scad, se înmulțesc și se împart respectând aceleași reguli de semn și aceeași ordine a operațiilor ca la numerele raționale. La calculele cu radicali se folosesc proprietățile: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$ și $(\sqrt{a})^2=a$, pentru $a,b\ge 0$. Radicalii identici se pot aduna/scădea ca termeni asemenea (după ce se scot factorii de sub radical), iar radicalii diferiți rămân sub această formă, ca sumă/diferență de termeni ce nu se pot combina într-un singur radical.

O fracție al cărei numitor conține un radical, de forma $\frac{c}{a\sqrt{b}}$, se numește neraționalizată. Raționalizarea numitorului înseamnă transformarea fracției într-una echivalentă, care are numitor rațional (fără radical), prin amplificarea fracției cu $\sqrt{b}$: $\frac{c}{a\sqrt{b}}=\frac{c\cdot\sqrt{b}}{a\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}=\frac{c\sqrt{b}}{a\cdot b}$ Această tehnică se bazează pe faptul că $\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}=b$ (un număr rațional, dacă $b$ este natural). De exemplu, $\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$, iar $\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$.

Cazul particular $\frac{1}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}}{b}$ se obține luând $a=1$ și $c=1$ în formula de mai sus.

După raționalizare, fracția obținută se simplifică, dacă este posibil, cu factorul comun al coeficienților raționali: de exemplu, $\dfrac{4}{3\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3\cdot 2}=\dfrac{4\sqrt{2}}{6}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ (s-a simplificat cu $2$). Este de asemenea recomandat ca, înainte de raționalizare, radicalul de la numitor să fie adus la forma cea mai simplă prin scoaterea factorilor: $\dfrac{1}{\sqrt{8}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ — mai simplu decât amplificarea directă cu $\sqrt{8}$.

Raționalizarea este utilă și pentru compararea sau adunarea fracțiilor cu radicali la numitor: aducerea tuturor termenilor la forma cu numitor rațional permite găsirea unui numitor comun obișnuit. De exemplu, $\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$.

În calcule complexe cu numere reale, se pot combina scoaterea/introducerea factorilor de sub radical, operațiile cu radicali și raționalizarea, respectând mereu ordinea corectă a operațiilor: se calculează mai întâi ce este în paranteze și puterile (inclusiv ridicarea la pătrat a unor sume cu radicali, de forma $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{ab}+b$), apoi înmulțirile/împărțirile, apoi adunările/scăderile. Rezultatul unei expresii cu radicali poate fi un număr rațional (dacă radicalii se anulează sau se combină exact) sau poate rămâne sub forma unei sume între un termen rațional și un termen cu radical, care nu se mai poate simplifica.