Numere iraționale; ℝ; incluziunile ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ; modulul

Un număr irațional este un număr care nu poate fi scris ca fracție $\frac{a}{b}$, cu $a\in\mathbb{Z}$, $b\in\mathbb{Z}^*$ — echivalent, un număr a cărui scriere zecimală este infinită și neperiodică. Rădăcinile pătrate ale numerelor naturale care nu sunt pătrate perfecte sunt numere iraționale: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, ...$ sunt toate iraționale, în timp ce $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$ sunt numere raționale (naturale, chiar), pentru că numerele de sub radical sunt pătrate perfecte.

Mulțimea numerelor reale, notată $\mathbb{R}$, este reuniunea dintre mulțimea numerelor raționale și mulțimea numerelor iraționale. Orice număr real corespunde exact unui punct de pe axa numerelor, iar orice punct de pe axă corespunde exact unui număr real (axa numerelor reale este „completă”, spre deosebire de axa pe care s-ar plasa doar numerele raționale, care ar avea „găuri” în punctele corespunzătoare numerelor iraționale).

Între mulțimile de numere studiate există relația de incluziune strictă: $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ Fiecare mulțime este strict inclusă în următoarea: există numere întregi care nu sunt naturale (ex: $-3$), numere raționale care nu sunt întregi (ex: $\frac{2}{5}$) și numere reale care nu sunt raționale — adică numerele iraționale (ex: $\sqrt{2}$).

Modulul (valoarea absolută) unui număr real $a$, notat $|a|$, se definește la fel ca la numerele întregi: $|a|=a$ dacă $a\ge 0$ și $|a|=-a$ dacă $a<0$; geometric, $|a|$ este distanța de la punctul $a$ la $0$ pe axa numerelor. Proprietăți importante ale modulului: $|a|\ge 0$ pentru orice $a\in\mathbb{R}$, cu egalitate doar pentru $a=0$; $|-a|=|a|$ (numere opuse au același modul); $|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$; iar ecuația $|a|=k$ (cu $k>0$ dat) are exact două soluții, $a=k$ și $a=-k$. Aceste proprietăți se folosesc frecvent la rezolvarea ecuațiilor cu modul de forma $|x-m|=k$, care se transformă în două ecuații: $x-m=k$ sau $x-m=-k$.

Compararea și ordonarea numerelor reale (raționale și iraționale amestecate) se face de obicei aproximând numerele iraționale cu ajutorul încadrării între pătrate perfecte, apoi comparând valorile obținute pe aceeași scară (zecimală).