Rădăcina pătrată; estimare; scoaterea/introducerea factorilor de sub radical

Rădăcina pătrată a unui număr real $a\ge 0$, notată $\sqrt{a}$, este numărul real nenegativ $x$ pentru care $x^2=a$. Pentru orice număr natural $n$, $\sqrt{n^2}=n$; mai general, pentru orice număr real $a$, $\sqrt{a^2}=|a|$ (rezultatul rădăcinii este întotdeauna nenegativ, indiferent de semnul lui $a$). Numerele naturale care sunt pătrate perfecte ($1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...$) au rădăcina pătrată un număr natural; celelalte numere naturale au rădăcina pătrată un număr irațional.

Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr care nu este pătrat perfect se face încadrându-l între două pătrate perfecte consecutive. De exemplu, pentru $\sqrt{52}$: cum $49=7^2<52<64=8^2$, rezultă $7<\sqrt{52}<8$.

Proprietăți de calcul cu radicali (pentru $a,b\ge 0$, respectiv $b>0$ la împărțire):

• $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$
• $\sqrt{a:b}=\sqrt{a}:\sqrt{b}$

Aceste proprietăți permit scoaterea factorilor de sub radical: dacă un număr de sub radical se poate scrie ca produs dintre un pătrat perfect și un alt factor, pătratul perfect „iese” de sub radical ca rădăcina sa. De exemplu $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}$, sau $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$.

Invers, introducerea unui factor sub radical se face ridicând factorul la pătrat și înmulțind cu numărul de sub radical: $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b}$, pentru $a\ge 0$. De exemplu $4\sqrt{5}=\sqrt{16\cdot 5}=\sqrt{80}$.

Aceste tehnici sunt esențiale pentru adunarea/scăderea radicalilor: se scot factorii de sub radical din fiecare termen, iar dacă radicalii rezultați sunt identici, se pot aduna/scădea coeficienții (asemănător termenilor asemenea): $\sqrt{72}-\sqrt{50}+\sqrt{8}=6\sqrt{2}-5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$. Radicalii cu numere diferite sub radical nu se pot combina într-un singur termen.

Pentru scoaterea rapidă a factorilor, este util să se descompună numărul de sub radical în produs de puteri de numere prime: fiecare pereche de factori primi identici iese de sub radical ca un singur factor. De exemplu, $\sqrt{72}=\sqrt{2^3\cdot 3^2}=\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 2}=2\cdot 3\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}$. Această metodă garantează că factorul rămas sub radical nu mai conține niciun pătrat perfect, deci forma obținută este complet simplificată.

Introducerea factorilor sub radical se folosește și la compararea numerelor de forma $a\sqrt{b}$: pentru a compara $3\sqrt{5}$ cu $2\sqrt{11}$, introducem factorii sub radical: $3\sqrt{5}=\sqrt{45}$ și $2\sqrt{11}=\sqrt{44}$; cum $45>44$, rezultă $3\sqrt{5}>2\sqrt{11}$. Estimarea și compararea radicalilor apar frecvent la Subiectul I al examenului, de exemplu la întrebarea „între ce numere naturale consecutive se află $\sqrt{n}$”.