Mulțimea ℚ: reprezentare, operații, puterea cu exponent întreg

Mulțimea numerelor raționale este $\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b}\mid a\in\mathbb{Z},\ b\in\mathbb{Z}^*\right\}$, adică mulțimea tuturor fracțiilor (pozitive, negative sau nule) — inclusiv numerele întregi (care se pot scrie ca $\frac{a}{1}$) și fracțiile zecimale finite sau periodice. Fiecare număr rațional poate fi reprezentat printr-un punct pe axa numerelor, are un opus (numărul cu semn schimbat) și un modul (distanța la $0$, întotdeauna $\ge 0$), exact ca la numerele întregi.

Compararea numerelor raționale se face aducându-le la aceeași formă (fracții cu numitor comun sau fracții zecimale), apoi comparând ca la numerele întregi: orice pozitiv $>0>$ orice negativ, iar între două numere de același semn se compară modulele (la cele pozitive, e mai mare cel cu modulul mai mare; la cele negative, e mai mare cel cu modulul mai mic).

Operațiile cu numere raționale (adunare, scădere, înmulțire, împărțire) urmează aceleași reguli de semn ca la numerele întregi și aceleași tehnici de calcul cu fracții (numitor comun la adunare/scădere, produsul termenilor la înmulțire, înmulțirea cu inversa la împărțire). Aceste operații au proprietăți: adunarea și înmulțirea sunt comutative și asociative, au element neutru ($0$, respectiv $1$), orice număr rațional are un opus, iar orice număr rațional nenul are un invers (inversul lui $\frac{a}{b}$ este $\frac{b}{a}$); înmulțirea este distributivă față de adunare/scădere.

Puterea cu exponent întreg: pentru $a\in\mathbb{Q}^*$ și $n\in\mathbb{N}^*$, definim $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$. Astfel, o putere cu exponent negativ se transformă în inversul puterii cu exponent pozitiv opus: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n$. Toate regulile de calcul cu puteri rămân valabile și pentru exponenți întregi (nu doar naturali): $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $a^m:a^n=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, pentru $a\in\mathbb{Q}^*$ și $m,n\in\mathbb{Z}$.

Semnul unei puteri cu bază negativă se stabilește după paritatea exponentului, la fel ca la $\mathbb{Z}$: $(-2)^{-2}=\dfrac{1}{(-2)^2}=\dfrac{1}{4}>0$, dar $(-2)^{-3}=\dfrac{1}{(-2)^3}=-\dfrac{1}{8}<0$. Important: exponentul negativ nu face rezultatul negativ — el indică doar trecerea la invers.

O aplicație frecventă a puterilor cu exponent negativ este scrierea numerelor zecimale mici: $0{,}1=10^{-1}$, $0{,}01=10^{-2}$, $0{,}001=10^{-3}$, ceea ce permite scrierea compactă a unor valori precum $0{,}0007=7\cdot 10^{-4}$.

În expresii care combină fracții, numere întregi și puteri cu exponent întreg, se respectă aceeași ordine a operațiilor: paranteze, puteri, înmulțiri/împărțiri, adunări/scăderi. La ecuațiile de forma $a^x=a^k$ (cu baza $a$ fixată, diferită de $0$, $1$ și $-1$), egalitatea puterilor implică egalitatea exponenților ($x=k$) — tehnică folosită pentru a determina exponenți necunoscuți, inclusiv negativi.