Fracții ordinare; procente; fracții echivalente; comparare

O fracție ordinară $\frac{a}{b}$, cu $a,b$ numere naturale și $b\ne 0$, reprezintă $a$ părți dintr-un întreg împărțit în $b$ părți egale. $a$ se numește numărător, $b$ se numește numitor. După relația dintre $a$ și $b$, fracțiile se clasifică în: subunitare ($a<b$, reprezintă mai puțin decât întregul), echiunitare ($a=b$, egale cu $1$) și supraunitare ($a>b$, mai mari decât întregul).

Un procent este o fracție cu numitorul $100$: $p\% = \frac{p}{100}$. Orice fracție se poate scrie sub formă de procent (aducând-o la un numitor $100$ sau calculând valoarea zecimală și înmulțind cu $100$), iar orice procent se poate scrie ca fracție ordinară, eventual simplificată. De exemplu $\frac{3}{8}=\frac{37{,}5}{100}=37{,}5\%$, iar $45\%=\frac{45}{100}=\frac{9}{20}$.

Două fracții sunt echivalente dacă reprezintă aceeași valoare, adică se obțin una din alta prin amplificare (înmulțirea numărătorului și numitorului cu același număr natural nenul) sau simplificare (împărțirea lor cu un divizor comun). Fracțiile $\frac{a}{b}$ și $\frac{c}{d}$ sunt echivalente exact atunci când $a\cdot d = b\cdot c$ (înmulțire încrucișată). O fracție se numește ireductibilă atunci când numărătorul și numitorul sunt prime între ele (nu mai au divizori comuni în afară de $1$); se obține simplificând fracția cu cel mai mare divizor comun al termenilor ei.

Compararea fracțiilor: dacă fracțiile au același numitor, este mai mare cea cu numărătorul mai mare; dacă au același numărător, este mai mare cea cu numitorul mai mic. În general, pentru a compara două fracții cu numărători și numitori diferiți, le aducem la un numitor comun (de obicei cel mai mic multiplu comun al numitorilor) și comparăm numărătorii obținuți, sau folosim înmulțirea încrucișată: $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Leftrightarrow a\cdot d < b\cdot c$ (pentru $b,d>0$).

Fracțiile se pot reprezenta pe axa numerelor: se împarte segmentul unitate în atâtea părți egale cât arată numitorul și se numără atâtea diviziuni cât arată numărătorul. Dintr-o fracție supraunitară se pot scoate întregii prin împărțirea cu rest a numărătorului la numitor: $\frac{11}{4}=2\frac{3}{4}$ (deoarece $11=2\cdot 4+3$); invers, introducerea întregilor transformă $2\frac{3}{4}$ înapoi în $\frac{2\cdot 4+3}{4}=\frac{11}{4}$.

Pentru ordonarea mai multor fracții (crescător sau descrescător), se aduc toate la același numitor, apoi se ordonează după numărători. O strategie alternativă utilă la examen este compararea fiecărei fracții cu un reper simplu, precum $\frac{1}{2}$ sau $1$: de exemplu, $\frac{4}{9}<\frac{1}{2}$ (pentru că $4\cdot 2<9$) și $\frac{5}{8}>\frac{1}{2}$ (pentru că $5\cdot 2>8$), deci $\frac{4}{9}<\frac{5}{8}$ fără niciun numitor comun. Procentele se compară transformându-le în fracții cu numitorul $100$ sau în numere zecimale, pe aceeași scară.