Puterea cu exponent natural a unui număr întreg; reguli de calcul

Pentru un număr întreg nenul $a$ și un număr natural $n\ge 1$, puterea $a^n$ este produsul a $n$ factori egali cu $a$: $a^n = \underbrace{a\cdot a \cdots a}_{n\ \text{factori}}$. Numărul $a$ se numește bază, iar $n$ se numește exponent. Prin convenție, $a^0=1$ pentru orice $a\ne 0$, iar $a^1=a$.

Semnul puterii unui număr negativ depinde de paritatea exponentului: dacă exponentul este par, puterea este pozitivă (deoarece semnele „$-$” se anulează în perechi); dacă exponentul este impar, puterea este negativă. Exemple: $(-2)^4 = 16$ (exponent par → rezultat pozitiv), $(-2)^3=-8$ (exponent impar → rezultat negativ). Atenție: $(-2)^4 \ne -2^4$; în $-2^4$, minusul nu este ridicat la putere, ci se aplică rezultatului: $-2^4=-16$, în timp ce $(-2)^4=16$.

Reguli de calcul cu puteri (baze nenule):

• Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — exponenții se adună.
• Împărțirea puterilor cu aceeași bază: $a^m : a^n = a^{m-n}$, pentru $m\ge n$ — exponenții se scad.
• Puterea unei puteri: $(a^m)^n = a^{m\cdot n}$ — exponenții se înmulțesc.
• Puterea unui produs: $(a\cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
• Puterea unui cât: $(a:b)^n = a^n : b^n$, pentru $b\ne 0$.

Aceste reguli se aplică numai atunci când bazele sunt egale (la primele trei) sau atunci când se ridică la putere un produs/cât (la ultimele două); ele nu permit adunarea sau scăderea exponenților unor puteri cu baze diferite, iar $a^m+a^n$ nu se simplifică prin nicio regulă de puteri — rămâne sumă.

Compararea puterilor se face de obicei aducând puterile la aceeași bază sau la același exponent, apoi comparând exponenții (dacă baza este supraunitară) sau bazele (dacă exponenții sunt egali și pozitivi). De exemplu, pentru a compara $2^{10}$ și $4^{4}$, scriem $4^4=(2^2)^4=2^8$, iar cum $10>8$, rezultă $2^{10}>4^4$.

În expresii cu paranteze, puterile se calculează înaintea înmulțirilor/împărțirilor și a adunărilor/scăderilor, respectând ordinea: paranteze → puteri → înmulțiri/împărțiri → adunări/scăderi.