Mulțimea numerelor întregi: opus, modul, comparare, operații

Mulțimea numerelor întregi este $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ și se obține prin reuniunea numerelor naturale cu opusele lor. Pe axa numerelor, întregii pozitivi se așază la dreapta lui 0, iar cei negativi la stânga, la aceeași distanță de 0 ca opusul lor pozitiv.

Opusul unui număr întreg $a$ este numărul $-a$, adică numărul așezat simetric față de 0 pe axă. Suma unui număr cu opusul său este întotdeauna 0: $a + (-a) = 0$. Opusul lui 5 este $-5$, opusul lui $$ este , iar opusul lui 0 este 0.

Modulul (valoarea absolută) unui număr întreg $a$, notat $|a|$, reprezintă distanța de la punctul care reprezintă $a$ până la 0 pe axă. Modulul este întotdeauna un număr natural (deci $\ge 0$): $|a| = a$ dacă și dacă . Astfel , , . Două numere opuse au același modul.

Compararea numerelor întregi se face astfel: orice număr pozitiv este mai mare decât orice număr negativ; 0 este mai mare decât orice număr negativ și mai mic decât orice număr pozitiv; dintre două numere negative, este mai mare cel cu modulul mai mic (adică cel mai apropiat de 0). De exemplu $-3 > -8$, pentru că pe axă $-3$ este mai la dreapta.

Adunarea numerelor întregi: dacă cele două numere au același semn, se adună modulele și se păstrează semnul comun (ex: $(-4)+(-7)=-11$). Dacă au semne diferite, se scade din modulul mai mare modulul mai mic, iar rezultatul păstrează semnul numărului cu modulul mai mare (ex: $(-9)+4 = -5$, pentru că ).

Scăderea se transformă întotdeauna în adunarea opusului: $a - b = a + (-b)$. De exemplu $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.

Înmulțirea și împărțirea: dacă cele două numere au același semn, rezultatul este pozitiv; dacă au semne diferite, rezultatul este negativ (regula semnelor). Împărțirea a două numere întregi se efectuează atunci când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului. Exemple: $(-6)\cdot(-4)=24$; $(-6)\cdot 4 = -24$; ; .

În calcule cu mai mulți termeni și paranteze, se respectă ordinea operațiilor: mai întâi parantezele (rotunde, apoi pătrate, apoi acolade), apoi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile (în ordinea în care apar), apoi adunările și scăderile.