Proprietățile divizibilității în ℕ

Proprietățile divizibilității numerelor naturale rezultă direct din definiție și sunt instrumente esențiale pentru problemele de tipul „arată că” de la Subiectul I și Subiectul III. Reamintim definiția: spunem că $a$ divide pe $b$ (notăm $a\mid b$) dacă există un număr natural $k$ astfel încât $b=a\cdot k$, unde $a\neq0$.

1. Reflexivitatea: $a\mid a$, pentru orice $a\in\mathbb{N}^*$, deoarece $a=a\cdot1$. Exemplu: $7\mid7$.

2. Tranzitivitatea: dacă $a\mid b$ și $b\mid c$, atunci $a\mid c$. Justificare: din $b=a\cdot k_1$ și $c=b\cdot k_2$ obținem $c=a\cdot(k_1k_2)$, iar $k_1k_2$ este număr natural, deci $a\mid c$. Exemplu: $3\mid6$ și $6\mid24$, deci $3\mid24$ (într-adevăr, $24=3\cdot8$).

3. Divizibilitatea sumei și a diferenței: dacă $a\mid b$ și $a\mid c$, atunci $a\mid(b+c)$, iar dacă în plus $b\ge c$, atunci $a\mid(b-c)$. Justificare: $b+c=a\cdot k_1+a\cdot k_2=a\cdot(k_1+k_2)$. Exemplu: $5\mid20$ și $5\mid15$, deci $5\mid35$ (adică $5\mid(20+15)$) și $5\mid5$ (adică $5\mid(20-15)$). Atenție: reciproca nu este adevărată în general — din $a\mid(b+c)$ nu rezultă că $a\mid b$ sau $a\mid c$ (de exemplu $5\mid(3+7)$, dar $5\nmid3$ și $5\nmid7$).

4. Divizibilitatea produsului: dacă $a\mid b$, atunci $a\mid(b\cdot c)$, pentru orice $c\in\mathbb{N}$. Justificare: $b=a\cdot k\Rightarrow b\cdot c=a\cdot(k\cdot c)$. Exemplu: $4\mid12$, deci $4\mid(12\cdot5)=60$.

5. Proprietatea lui Gauss: dacă $a\mid(b\cdot c)$ și $a$, $b$ sunt prime între ele (adică $cmmdc(a,b)=1$), atunci $a\mid c$. Exemplu: $11\mid(7\cdot n)$ și $cmmdc(11,7)=1$, deci $11\mid n$. Condiția $cmmdc(a,b)=1$ este esențială: $6\mid(4\cdot9)=36$, dar $cmmdc(6,4)=2\neq1$, și, într-adevăr, $6\nmid9$.

6. Majorarea: dacă $a\mid b$ și $b\neq0$, atunci $a\le b$, pentru că $b=a\cdot k$ cu $k\ge1$ număr natural, deci $b\ge a$. Exemplu: $8\mid24$ și $8\le24$.

Aceste proprietăți se folosesc de obicei împreună, nu izolat: la o problemă de tipul „arată că numărul $A$ este divizibil cu $n$”, se caută adesea o scriere a lui $A$ ca sumă sau ca produs în care fiecare termen conține factorul $n$, aplicând proprietățile de la punctele $3$ și $4$.

Aceste șase proprietăți nu se redemonstrează la fiecare exercițiu — ele se citează direct, ca reguli cunoscute, la fel cum se folosesc direct criteriile de divizibilitate cu $2,5,10^n,3,9$ studiate anterior. Important de reținut este și faptul că orice proprietate cu ipoteze (de exemplu proprietatea lui Gauss) își pierde valabilitatea dacă una dintre ipoteze nu este îndeplinită; de aceea, la rezolvarea unei probleme, se verifică întotdeauna, explicit, condițiile înainte de a aplica proprietatea.