Proprietățile divizibilității în ℕ

Proprietățile divizibilității numerelor naturale rezultă direct din definiție și sunt instrumente esențiale pentru problemele de tipul „arată că” de la Subiectul I și Subiectul III. Reamintim definiția: spunem că $a$ divide pe $b$ (notăm $a\mid b$) dacă există un număr natural $k$ astfel încât $b=a\cdot k$, unde $a\neq0$.

1. Reflexivitatea: $a\mid a$, pentru orice $a\in\mathbb{N}^*$, deoarece $a=a\cdot1$. Exemplu: .

2. Tranzitivitatea: dacă $a\mid b$ și $b\mid c$, atunci $a\mid c$. Justificare: din $b=a\cdot k_1$ și obținem , iar este număr natural, deci . Exemplu: și , deci (într-adevăr, ).

3. Divizibilitatea sumei și a diferenței: dacă $a\mid b$ și $a\mid c$, atunci $a\mid(b+c)$, iar dacă în plus $$, atunci . Justificare: . Exemplu: și , deci (adică ) și (adică ). Atenție: reciproca nu este adevărată în general — din nu rezultă că sau (de exemplu , dar și ).

4. Divizibilitatea produsului: dacă $a\mid b$, atunci $a\mid(b\cdot c)$, pentru orice $c\in\mathbb{N}$. Justificare: $$. Exemplu: , deci .

5. Proprietatea lui Gauss: dacă $a\mid(b\cdot c)$ și $a$, $b$ sunt prime între ele (adică $cmmdc(a,b)=1$), atunci . Exemplu: și , deci . Condiția este esențială: , dar , și, într-adevăr, .

6. Majorarea: dacă $a\mid b$ și $b\neq0$, atunci $a\le b$, pentru că $b=a$ cu număr natural, deci . Exemplu: și .

Aceste proprietăți se folosesc de obicei împreună, nu izolat: la o problemă de tipul „arată că numărul $A$ este divizibil cu $n$”, se caută adesea o scriere a lui $A$ ca sumă sau ca produs în care fiecare termen conține factorul $n$, aplicând proprietățile de la punctele $3$ și $4$.

Aceste șase proprietăți nu se redemonstrează la fiecare exercițiu — ele se citează direct, ca reguli cunoscute, la fel cum se folosesc direct criteriile de divizibilitate cu $2,5,10^n,3,9$ studiate anterior. Important de reținut este și faptul că orice proprietate cu ipoteze (de exemplu proprietatea lui Gauss) își pierde valabilitatea dacă una dintre ipoteze nu este îndeplinită; de aceea, la rezolvarea unei probleme, se verifică întotdeauna, explicit, condițiile înainte de a aplica proprietatea.