Numere prime și compuse; descompunerea; c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Lecția 9 din 21≈ 4 min de citit

Un număr natural mai mare decât $1$ se numește număr prim dacă are exact doi divizori naturali: $1$ și el însuși. De exemplu, $2,3,5,7,11,13,17,19,23$ sunt numere prime. Numărul $2$ este singurul număr prim par; toate celelalte numere prime sunt impare (dar nu orice număr impar este prim: $9,15,21,25$ sunt impare și, în același timp, compuse). Un număr natural mai mare decât $1$ care are mai mult de doi divizori se numește număr compus (de exemplu $4,6,8,9,10$ ). Numărul $1$ are un singur divizor (pe el însuși), deci nu este nici prim, nici compus.

O metodă clasică de identificare a numerelor prime dintr-un interval este ciurul lui Eratostene: se scriu toate numerele de la $2$ până la o limită dată, apoi se elimină succesiv multiplii fiecărui număr prim găsit (întâi multiplii lui $2$ , apoi ai lui $3$ , ai lui $5$ ș.a.m.d.); numerele rămase neeliminate sunt numere prime.

Orice număr natural mai mare decât $1$ se poate scrie, în mod unic (până la ordinea factorilor), ca produs de puteri de numere prime — aceasta se numește descompunere canonică (în factori primi): $n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ , unde $p_1,p_2,\ldots,p_k$ sunt numere prime distincte, iar $a_1,\ldots,a_k$ sunt numere naturale nenule. De exemplu, $360=2^3\cdot3^2\cdot5$ . Pentru descompunere folosim criteriile de divizibilitate (cu $2,5,3,9$ ) învățate anterior.

Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) a două numere naturale se poate afla în două moduri:

Prin descompunere în factori primi: se descompun numerele, apoi c.m.m.d.c. este produsul factorilor primi comuni, luați la puterea cea mai mică.
Prin algoritmul lui Euclid: se împarte numărul mai mare la cel mai mic, apoi împărțitorul se împarte la restul obținut, și tot așa, succesiv, până se obține restul $0$ ; c.m.m.d.c. este ultimul rest nenul.

Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) a două numere se calculează prin descompunere în factori primi, ca fiind produsul factorilor primi comuni și necomuni, luați la puterea cea mai mare.

Între c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două numere $a$ și $b$ există relația fundamentală: $cmmdc(a,b)\cdot cmmmc(a,b)=a\cdot b$ Această relație este utilă atât pentru verificarea calculelor, cât și pentru aflarea rapidă a unuia dintre cei doi termeni, cunoscând produsul $a\cdot b$ și celălalt termen.

Două numere naturale $a$ și $b$ se numesc prime între ele dacă $cmmdc(a,b)=1$ , adică nu au niciun factor prim comun. De exemplu, $35$ și $48$ sunt prime între ele ( $35=5\cdot7$ , $48=2^4\cdot3$ — nu au factori primi comuni), deși niciunul dintre ele nu este, individual, un număr prim.

Formule

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Descompuneți în factori primi numerele $360$ și $504$ , apoi calculați $cmmdc(360,504)$ și $cmmmc(360,504)$ .

Vezi rezolvarea

Descompunem fiecare număr, folosind criteriile de divizibilitate:

$360=2^3\cdot3^2\cdot5$ (deoarece $360:2=180$ , $180:2=90$ , $90:2=45$ , $45:3=15$ , $15:3=5$ , $5:5=1$ ).

$504=2^3\cdot3^2\cdot7$ (deoarece $504:2=252$ , $252:2=126$ , $126:2=63$ , $63:3=21$ , $21:3=7$ , $7:7=1$ ).

Factorii primi comuni sunt $2$ și $3$ . Luăm puterea cea mai mică pentru fiecare: $\min(3,3)=3$ la $2$ și $\min(2,2)=2$ la $3$ .

$cmmdc(360,504)=2^3\cdot3^2=8\cdot9=72$ .

Pentru $cmmmc$ luăm toți factorii (comuni și necomuni) la puterea cea mai mare: $2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7$ .

$cmmmc(360,504)=8\cdot9\cdot5\cdot7=72\cdot35=2520$ .

Verificare: $cmmdc\cdot cmmmc=72\cdot2520=181440$ , iar $360\cdot504=181440$ . ✓

Exemplul 3

Arătați că numerele $35$ și $48$ sunt prime între ele, apoi calculați $cmmmc(35,48)$ .

Vezi rezolvarea

Descompunem: $35=5\cdot7$ și $48=2^4\cdot3$ .

Cele două descompuneri nu au niciun factor prim comun, deci $cmmdc(35,48)=1$ . Prin urmare $35$ și $48$ sunt prime între ele.

Deoarece $cmmdc(35,48)=1$ , din relația $cmmdc\cdot cmmmc=a\cdot b$ obținem $cmmmc(35,48)=\dfrac{35\cdot48}{1}=1680$ .

(Se poate verifica și direct prin descompunere: $cmmmc(35,48)=2^4\cdot3\cdot5\cdot7=16\cdot3\cdot5\cdot7=1680$ .) ✓

Greșeli frecvente

Ai terminat lecția

Exersează această lecție →Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.

Înapoi la toate lecțiile de Numere

Numere prime și compuse; descompunerea; c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Lecția 9 din 21≈ 4 min de citit

Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) a două numere naturale se poate afla în două moduri:

Prin descompunere în factori primi: se descompun numerele, apoi c.m.m.d.c. este produsul factorilor primi comuni, luați la puterea cea mai mică.
Prin algoritmul lui Euclid: se împarte numărul mai mare la cel mai mic, apoi împărțitorul se împarte la restul obținut, și tot așa, succesiv, până se obține restul $0$ ; c.m.m.d.c. este ultimul rest nenul.

Formule

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Descompuneți în factori primi numerele $360$ și $504$ , apoi calculați $cmmdc(360,504)$ și $cmmmc(360,504)$ .

Vezi rezolvarea

Descompunem fiecare număr, folosind criteriile de divizibilitate:

$360=2^3\cdot3^2\cdot5$ (deoarece $360:2=180$ , $180:2=90$ , $90:2=45$ , $45:3=15$ , $15:3=5$ , $5:5=1$ ).

$504=2^3\cdot3^2\cdot7$ (deoarece $504:2=252$ , $252:2=126$ , $126:2=63$ , $63:3=21$ , $21:3=7$ , $7:7=1$ ).

Factorii primi comuni sunt $2$ și $3$ . Luăm puterea cea mai mică pentru fiecare: $\min(3,3)=3$ la $2$ și $\min(2,2)=2$ la $3$ .

$cmmdc(360,504)=2^3\cdot3^2=8\cdot9=72$ .

Pentru $cmmmc$ luăm toți factorii (comuni și necomuni) la puterea cea mai mare: $2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7$ .

$cmmmc(360,504)=8\cdot9\cdot5\cdot7=72\cdot35=2520$ .

Verificare: $cmmdc\cdot cmmmc=72\cdot2520=181440$ , iar $360\cdot504=181440$ . ✓

Exemplul 3

Arătați că numerele $35$ și $48$ sunt prime între ele, apoi calculați $cmmmc(35,48)$ .

Vezi rezolvarea

Descompunem: $35=5\cdot7$ și $48=2^4\cdot3$ .

Cele două descompuneri nu au niciun factor prim comun, deci $cmmdc(35,48)=1$ . Prin urmare $35$ și $48$ sunt prime între ele.

Deoarece $cmmdc(35,48)=1$ , din relația $cmmdc\cdot cmmmc=a\cdot b$ obținem $cmmmc(35,48)=\dfrac{35\cdot48}{1}=1680$ .

(Se poate verifica și direct prin descompunere: $cmmmc(35,48)=2^4\cdot3\cdot5\cdot7=16\cdot3\cdot5\cdot7=1680$ .) ✓