Divizori și multipli; criteriile de divizibilitate cu 2, 5, 10^n, 3, 9

Un număr natural $a$ este divizor al unui număr natural $b$ dacă există un număr natural $c$ astfel încât $b=a\cdot c$; spunem atunci că $b$ este multiplu al lui $a$. Notăm acest fapt prin $a\mid b$ (se citește „$a$ divide $b$”). De exemplu, $4\mid 12$, deoarece $12=4\cdot 3$: spunem că $4$ este divizor al lui $12$, iar $12$ este multiplu al lui $4$.

Orice număr natural nenul are cel puțin doi divizori: $1$ și el însuși. Numărul $1$ este divizor al oricărui număr natural. Numărul $0$ este multiplu al oricărui număr natural (deoarece $0=a\cdot 0$, pentru orice $a$), dar nu este divizor al niciunui număr diferit de .

Mulțimea divizorilor unui număr $b$ se notează $D_b$ și se determină scriind toate perechile de numere al căror produs este $b$. De exemplu, $D_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}$, deoarece .

Mulțimea multiplilor unui număr $a$ se notează $M_a$ și este infinită: $M_a=\{0,a,2a,3a,\dots\}$. De exemplu, .

Divizorii comuni a două (sau mai multe) numere sunt numerele care apar în ambele mulțimi de divizori. De exemplu, divizorii comuni ai lui $12$ și $18$ sunt $1,2,3,6$ (deoarece $D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}$, iar intersecția cu este ).

Multiplii comuni a două (sau mai multe) numere sunt numerele care apar în ambele mulțimi de multipli. De exemplu, primii multipli comuni nenuli ai lui $4$ și $6$ sunt $12,24,36,\dots$

Pentru a stabili rapid dacă un număr este divizibil cu altul, fără a efectua împărțirea, folosim criteriile de divizibilitate:

• Criteriul cu 2: un număr este divizibil cu $2$ dacă ultima sa cifră este pară ($0,2,4,6,8$). Exemplu: $358$ se divide cu $2$ (ultima cifră $8$), dar nu.

Aceste criterii sunt foarte utile atunci când trebuie găsite cifre necunoscute astfel încât un număr să satisfacă o anumită condiție de divizibilitate, precum și în verificarea rapidă a rezultatelor unor calcule, fără a efectua împărțiri.