Divizori și multipli; criteriile de divizibilitate cu 2, 5, 10^n, 3, 9

Un număr natural $a$ este divizor al unui număr natural $b$ dacă există un număr natural $c$ astfel încât $b=a\cdot c$; spunem atunci că $b$ este multiplu al lui $a$. Notăm acest fapt prin $a\mid b$ (se citește „$a$ divide $b$”). De exemplu, $4\mid 12$, deoarece $12=4\cdot 3$: spunem că $4$ este divizor al lui $12$, iar $12$ este multiplu al lui $4$.

Orice număr natural nenul are cel puțin doi divizori: $1$ și el însuși. Numărul $1$ este divizor al oricărui număr natural. Numărul $0$ este multiplu al oricărui număr natural (deoarece $0=a\cdot 0$, pentru orice $a$), dar $0$ nu este divizor al niciunui număr diferit de $0$.

Mulțimea divizorilor unui număr $b$ se notează $D_b$ și se determină scriind toate perechile de numere al căror produs este $b$. De exemplu, $D_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}$, deoarece $12=1\cdot 12=2\cdot 6=3\cdot 4$.

Mulțimea multiplilor unui număr $a$ se notează $M_a$ și este infinită: $M_a=\{0,a,2a,3a,\dots\}$. De exemplu, $M_5=\{0,5,10,15,20,\dots\}$.

Divizorii comuni a două (sau mai multe) numere sunt numerele care apar în ambele mulțimi de divizori. De exemplu, divizorii comuni ai lui $12$ și $18$ sunt $1,2,3,6$ (deoarece $D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}$, iar intersecția cu $D_{12}$ este $\{1,2,3,6\}$).

Multiplii comuni a două (sau mai multe) numere sunt numerele care apar în ambele mulțimi de multipli. De exemplu, primii multipli comuni nenuli ai lui $4$ și $6$ sunt $12,24,36,\dots$

Pentru a stabili rapid dacă un număr este divizibil cu altul, fără a efectua împărțirea, folosim criteriile de divizibilitate:

• Criteriul cu 2: un număr este divizibil cu $2$ dacă ultima sa cifră este pară ($0,2,4,6,8$). Exemplu: $358$ se divide cu $2$ (ultima cifră $8$), dar $357$ nu.
• Criteriul cu 5: un număr este divizibil cu $5$ dacă ultima sa cifră este $0$ sau $5$. Exemplu: $645$ și $780$ se divid cu $5$, dar $647$ nu.
• Criteriul cu $10^n$: un număr este divizibil cu $10^n$ dacă ultimele $n$ cifre ale sale sunt toate egale cu $0$. Exemplu: $4500$ se divide cu $10^2=100$ (ultimele două cifre sunt $00$), dar nu se divide cu $10^3=1000$ (ultimele trei cifre sunt $500$, nu $000$).
• Criteriul cu 3: un număr este divizibil cu $3$ dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu $3$. Exemplu: $471$: $4+7+1=12$, iar $12$ se divide cu $3$, deci $471$ se divide cu $3$.
• Criteriul cu 9: un număr este divizibil cu $9$ dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu $9$. Exemplu: $6435$: $6+4+3+5=18$, iar $18$ se divide cu $9$, deci $6435$ se divide cu $9$.

Aceste criterii sunt foarte utile atunci când trebuie găsite cifre necunoscute astfel încât un număr să satisfacă o anumită condiție de divizibilitate, precum și în verificarea rapidă a rezultatelor unor calcule, fără a efectua împărțiri.