Scrierea în baza 10 și în baza 2 (fără operații în baza 2)

Sistemul de numerație zecimal (baza 10) este un sistem pozițional: valoarea fiecărei cifre dintr-un număr depinde de poziția pe care o ocupă, nu doar de cifra în sine. Pornind de la dreapta, pozițiile au valorile $10^0=1$ (unități), $10^1=10$ (zeci), $10^2=100$ (sute), $10^3=1000$ (mii) ș.a.m.d. Orice număr natural scris cu cifrele $\overline{a_n a_{n-1}\ldots a_1 a_0}$ se poate descompune astfel: $\overline{a_n a_{n-1}\ldots a_1 a_0} = a_n\cdot10^n + a_{n-1}\cdot10^{n-1} + \ldots + a_1\cdot10 + a_0$. De exemplu, $453 = 4\cdot10^2+5\cdot10+3$, iar $2026=2\cdot10^3+0\cdot10^2+2\cdot10+6$.

Pe lângă baza 10, un număr natural poate fi scris și în baza 2 (sistemul binar), folosind doar cifrele 0 și 1. În baza 2, pozițiile au valorile puterilor lui 2: $2^0=1$, $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$ ș.a.m.d. Un număr scris în baza 2 ca $\overline{a_na_{n-1}\ldots a_0}^{(2)}$, cu $a_i\in\{0,1\}$, reprezintă în baza 10 numărul $a_n\cdot2^n+a_{n-1}\cdot2^{n-1}+\ldots+a_1\cdot2+a_0$.

Trecerea din baza 2 în baza 10 se face exact prin această descompunere după puterile lui 2, urmată de adunarea termenilor. De exemplu, $1101_2 = 1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0 = 8+4+0+1=13$.

Trecerea din baza 10 în baza 2 se face prin împărțiri succesive la 2: se împarte numărul la 2, se reține restul (0 sau 1), apoi se împarte câtul obținut din nou la 2, și tot așa, până când câtul devine 0. Scrierea în baza 2 se obține citind resturile de jos în sus (adică de la ultimul rest obținut către primul). De exemplu, pentru 25: $25:2=12$ rest $1$; $12:2=6$ rest $0$; $6:2=3$ rest $0$; $3:2=1$ rest $1$; $1:2=0$ rest $1$. Citind resturile de jos în sus obținem $25=11001_2$. Verificare: $1\cdot16+1\cdot8+0\cdot4+0\cdot2+1\cdot1=16+8+0+0+1=25$.

Este important de reținut că programa actuală (OM 4730/2022) cere doar scrierea și citirea numerelor în baza 2 și conversiile între baza 10 și baza 2, fără efectuarea vreunei operații aritmetice (adunare, scădere, înmulțire, împărțire) direct cu cifre binare. Dacă trebuie efectuat un calcul cu numere date în baza 2, se transformă mai întâi fiecare număr în baza 10, se efectuează operația acolo, iar rezultatul poate fi apoi rescris, dacă e cerut, în baza 2.

De asemenea, un număr scris în baza 2 nu se citește ca și cum ar fi scris în baza 10: $101_2$ nu se citește „o sută unu”, ci reprezintă numărul $5$ din baza 10 ($1\cdot4+0\cdot2+1\cdot1=5$).