Puterea cu exponent natural; reguli de calcul cu puteri; compararea puterilor

Puterea cu exponent natural este o scriere prescurtată pentru un produs de factori egali. Pentru un număr natural $a$ (numit bază) și un număr natural $n\ge 2$ (numit exponent), definim $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot ... \cdot a}_{n\ \text{factori}}$. Citim $a^n$ „$a$ la puterea $n$”. Cazul particular $n=2$ se numește pătratul numărului $a$ ($a^2=a\cdot a$), iar $n=3$ se numește cubul lui $a$ ($a^3=a\cdot a\cdot a$).

Pentru completarea definiției, se convine: $a^1=a$ (orice număr la puterea 1 este el însuși) și $a^0=1$, pentru orice $a\ne 0$ (orice număr nenul la puterea 0 este 1).

Reguli de calcul cu puteri (pentru numere naturale $a,b$, nenule atunci când este necesar, și exponenți naturali $m,n$):

1. Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: se adună exponenții. $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.
2. Împărțirea puterilor cu aceeași bază: se scad exponenții, cu condiția $m\ge n$ și $a\ne 0$. $a^m:a^n=a^{m-n}$.
3. Puterea unei puteri: se înmulțesc exponenții. $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$.
4. Puterea unui produs: se ridică la putere fiecare factor. $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.
5. Puterea unui cât: se ridică la putere atât deîmpărțitul, cât și împărțitorul. $(a:b)^n=a^n:b^n$, pentru $b\ne 0$.

Compararea puterilor se face astfel:

• dacă bazele sunt egale și mai mari decât 1, puterea cu exponentul mai mare este mai mare: din $a>1$ și $m>n$ rezultă $a^m>a^n$;
• dacă exponenții sunt egali, puterea cu baza mai mare este mai mare: din $a>b>0$ rezultă $a^n>b^n$, pentru $n\ge 1$;
• dacă atât bazele, cât și exponenții sunt diferiți, cele două puteri se calculează efectiv, iar apoi se compară valorile obținute (de exemplu, $3^4=81$ este mai mare decât $4^3=64$, deși baza 3 este mai mică decât baza 4).

Este important de reținut că regulile de mai sus se aplică STRICT atunci când bazele (la înmulțirea/împărțirea puterilor) sau exponenții (la ridicarea unei puteri la altă putere) coincid; ele nu transformă o sumă sau o diferență de puteri — NU există o regulă de forma $a^m+a^n=a^{m+n}$.

Puterile sunt folosite frecvent pentru scrierea compactă a numerelor mari și pentru calcule rapide: de exemplu, $2^{10}=1\,024$, $10^3=1\,000$, iar $5^4=625$. Aceste reguli stau și la baza scrierii numerelor în baza 10, unde fiecare cifră este înmulțită cu o putere a lui 10 corespunzătoare ordinului ei.