Operații cu numere naturale; aproximări și estimări

Mulțimea numerelor naturale este $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, ...\}$. Fiecare număr natural se scrie folosind cele zece cifre (0–9) în sistemul zecimal, unde poziția fiecărei cifre indică ordinul ei (unități, zeci, sute, mii etc.). Pe axa numerelor, numerele naturale se reprezintă prin puncte așezate la distanțe egale, în ordine crescătoare de la stânga la dreapta, începând cu 0.

Compararea și ordonarea numerelor naturale se face astfel: dintre două numere cu număr diferit de cifre, este mai mare cel cu mai multe cifre; dintre două numere cu același număr de cifre, se compară cifrele de la stânga la dreapta, iar primul rang în care apare o diferență decide care număr este mai mare. Pe axă, dintre două numere, este mai mare cel așezat mai la dreapta.

Aproximările și estimările înlocuiesc un număr cu o valoare apropiată, mai ușor de folosit în calcule rapide. Rotunjirea la un anumit ordin (zeci, sute, mii etc.) se face privind cifra imediat următoare (la dreapta) ordinului respectiv: dacă această cifră este 5, 6, 7, 8 sau 9, cifra ordinului la care rotunjim se mărește cu 1 (rotunjire „în sus”); dacă este 0, 1, 2, 3 sau 4, cifra rămâne neschimbată (rotunjire „în jos”), iar toate cifrele de după ordinul de rotunjire devin 0. De exemplu, 2 748 rotunjit la zeci este 2 750, la sute este 2 700, iar la mii este 3 000.

Adunarea numerelor naturale are proprietățile: comutativitate ($a+b=b+a$), asociativitate ($(a+b)+c=a+(b+c)$) și element neutru, 0 ($a+0=a$). Scăderea este operația inversă adunării: $a-b=c$ dacă și numai dacă $b+c=a$; ea este definită în $\mathbb{N}$ doar atunci când descăzutul este mai mare sau egal cu scăzătorul ($a\ge b$). Scăderea NU este comutativă și NU este asociativă.

Înmulțirea are proprietățile de comutativitate ($a\cdot b=b\cdot a$), asociativitate ($(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$) și element neutru, 1 ($a\cdot 1=a$). Cea mai utilă proprietate pentru calcule rapide este distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere: $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ și $a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c$. Citită de la dreapta la stânga, egalitatea permite scoaterea factorului comun: $a\cdot b+a\cdot c=a\cdot(b+c)$, tehnică des folosită pentru calculul rapid al unor sume sau diferențe de produse cu un factor comun.

Împărțirea numerelor naturale poate fi exactă (cu rest zero) sau cu rest. Împărțirea exactă înseamnă că deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului. În general, pentru orice deîmpărțit $\text{D}$ și orice împărțitor $\text{Î}\ne 0$, există un cât $\text{C}$ și un rest $\text{R}$, unici, astfel încât are loc teorema împărțirii cu rest: $\text{D}=\text{Î}\cdot \text{C}+\text{R}$, cu $0\le \text{R}<\text{Î}$. Dacă $\text{R}=0$, împărțirea este exactă. De exemplu, împărțind 358 la 23, obținem câtul 15 și restul 13, deoarece $23\cdot 15+13=358$ și $13<23$.

La calcule cu mai mulți pași, se respectă ordinea efectuării operațiilor: mai întâi conținutul parantezelor (rotunde, apoi pătrate, apoi acolade), apoi înmulțirile și împărțirile, în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta, și abia apoi adunările și scăderile, tot de la stânga la dreapta.