Cilindrul, conul și trunchiul de con circular drept: arii și volume

Cilindrul circular drept are două baze — discuri congruente situate în plane paralele — și o suprafață laterală care, desfășurată, este un dreptunghi cu dimensiunile $2\pi R$ (lungimea cercului bazei) și $G$. Generatoarea $G$ este egală cu înălțimea $h$. Formulele:

$\mathcal{A}_l = 2\pi R G, \qquad \mathcal{A}_t = 2\pi R(R + G), \qquad V = \pi R^2 h.$

Secțiunea axială a cilindrului (printr-un plan care conține axa $OO'$) este un dreptunghi cu dimensiunile $2R$ și $h$; dacă $h = 2R$, secțiunea este pătrat („cilindru echilateral").

Conul circular drept are un disc drept bază, vârful $V$ pe perpendiculara în centrul $O$ al bazei ($VO = h$ este înălțimea), iar generatoarea $G = VA$ ($A$ pe cercul bazei) satisface, în triunghiul dreptunghic $VOA$:

$G^2 = h^2 + R^2.$

Formulele conului:

$\mathcal{A}_l = \pi R G, \qquad \mathcal{A}_t = \pi R(R + G), \qquad V = \frac{\pi R^2 h}{3}.$

Desfășurarea suprafeței laterale a conului este un sector de cerc cu raza $G$ și unghiul la centru $u = \dfrac{360° \cdot R}{G}$. Secțiunea axială a conului este un triunghi isoscel cu baza $2R$ și laturile $G$; dacă $G = 2R$, conul se numește con echilateral (secțiunea axială e triunghi echilateral).

Trunchiul de con circular drept se obține dintr-un con secționat cu un plan paralel cu baza, prin îndepărtarea conului mic. Are bazele discuri de raze $R$ (mare) și $r$ (mică), înălțimea $h$ și generatoarea $G$, legate prin relația (dedusă proiectând un capăt al generatoarei pe baza mare):

$G^2 = h^2 + (R - r)^2.$

Formulele trunchiului de con:

$\mathcal{A}_l = \pi G(R + r), \qquad \mathcal{A}_t = \mathcal{A}_l + \pi R^2 + \pi r^2, \qquad V = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + r^2 + Rr\right).$

Secțiunea axială a trunchiului de con este un trapez isoscel cu bazele $2R$ și $2r$ și laturile neparalele $G$.

Exemplu: pentru trunchiul de con cu $R = 8$ cm, $r = 3$ cm și $h = 12$ cm: $G = \sqrt{144 + 25} = 13$ cm, $\mathcal{A}_l = \pi \cdot 13 \cdot 11 = 143\pi$ cm², $V = \dfrac{12\pi}{3}(64 + 9 + 24) = 388\pi$ cm³.

Unghiuri și distanțe. Axa $VO$ fiind perpendiculară pe bază, unghiul dintre generatoare și planul bazei este $\angle VAO$, cu $\text{tg}(\angle VAO) = \dfrac{h}{R}$. Pentru un plan $(VAB)$ determinat de vârf și o coardă $AB$ a bazei, perpendicularitatea se stabilește cu teorema celor trei perpendiculare: dacă $M$ este mijlocul coardei, atunci $OM \perp AB$ și, prin T3P, $VM \perp AB$ — deci $\angle VMO$ este unghiul diedru dintre planul $(VAB)$ și bază.