Sfera: arie și volum

Sfera de centru $O$ și rază $R$ este mulțimea punctelor din spațiu aflate la distanța $R$ de punctul $O$. Corpul sferic (bila) este mulțimea punctelor aflate la distanță cel mult $R$ de centru — sfera este „coaja", bila este corpul plin. Elementele sferei seamănă cu ale cercului: raza $R$, diametrul $D = 2R$ (orice segment prin centru cu capetele pe sferă).

Formulele de bază (de memorat — sfera nu are desfășurare plană, formulele nu se pot „reconstrui" din arii de poligoane):

$\mathcal{A} = 4\pi R^2, \qquad V = \frac{4\pi R^3}{3}.$

Exemplu: pentru $R = 3$ cm, $\mathcal{A} = 36\pi$ cm² și $V = \dfrac{4\pi \cdot 27}{3} = 36\pi$ cm³.

Formulele se citesc și invers: din $\mathcal{A} = 64\pi$ rezultă $R^2 = 16$, deci $R = 4$; din $V = 288\pi$ rezultă $R^3 = \dfrac{3 \cdot 288}{4} = 216$, deci $R = 6$.

Secțiunea plană a unei sfere este un cerc. Dacă planul trece prin centru, secțiunea este un cerc mare, de rază $R$ (cea mai mare secțiune posibilă). Dacă planul se află la distanța $d < R$ de centru, raza $r$ a cercului de secțiune se calculează în triunghiul dreptunghic format de centru, piciorul perpendicularei pe plan și un punct al cercului de secțiune:

$R^2 = d^2 + r^2.$

Sfera și corpurile geometrice. Două configurații apar frecvent:

• sfera înscrisă în cub (tangentă la toate fețele): $R = \dfrac{l}{2}$, unde $l$ este muchia cubului;
• sfera circumscrisă cubului / paralelipipedului dreptunghic (trece prin toate vârfurile): centrul este punctul de intersecție a diagonalelor, iar $R = \dfrac{d}{2}$ — jumătate din diagonala corpului ($d = l\sqrt{3}$ la cub, $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ la paralelipiped).

Proporționalitate. Aria sferei crește cu pătratul razei, volumul cu cubul: dacă raza se dublează, aria se mărește de $4$ ori, iar volumul de $8$ ori. Această observație rezolvă rapid problemele de topire/returnare: dintr-o bilă de rază $3$ se pot forma $27$ de bile de rază $1$, pentru că volumul se conservă și $\dfrac{V_{mare}}{V_{mica}} = \left(\dfrac{3}{1}\right)^3 = 27$.

La problemele practice (rezervoare sferice, mingi, cupole emisferice) se folosește și semisfera: volumul ei este jumătate din volumul sferei, $\dfrac{2\pi R^3}{3}$, iar aria totală a corpului semisferic este $2\pi R^2 + \pi R^2 = 3\pi R^2$ (calota plus discul de bază).