Trunchiul de piramidă regulată: arii și volume

Trunchiul de piramidă regulată se obține secționând o piramidă regulată cu un plan paralel cu baza și îndepărtând piramida mică de deasupra secțiunii. Rămân două baze paralele și asemenea: baza mare (cu latura $L$, perimetrul $P_B$, aria $\mathcal{A}_B$, apotema $a_B$) și baza mică (cu latura $l$, perimetrul $P_b$, aria $\mathcal{A}_b$, apotema $a_b$). Fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente.

Elementele trunchiului:

• înălțimea $h = OO'$ — distanța dintre centrele celor două baze; $OO'$ este perpendiculară pe ambele baze;
• apotema trunchiului $a_t = MM'$ — înălțimea unei fețe laterale (segmentul care unește mijloacele laturilor paralele ale trapezului);
• muchia laterală $m$ — latura neparalelă a trapezului.

Proiectând $M'$ (mijlocul laturii bazei mici) pe planul bazei mari, piciorul $P$ cade pe apotema $OM$, la distanța $a_b$ de centru, deci $PM = a_B - a_b$. Din triunghiul dreptunghic $M'PM$ rezultă relația fundamentală:

$a_t^2 = h^2 + (a_B - a_b)^2.$

Analog, proiectând un vârf al bazei mici, se obține pentru muchia laterală $m^2 = h^2 + (R_B - R_b)^2$, unde $R_B$, $R_b$ sunt razele cercurilor circumscrise bazelor.

Ariile și volumul:

$\mathcal{A}_l = \frac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2}, \qquad \mathcal{A}_t = \mathcal{A}_l + \mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b,$

$V = \frac{h}{3}\left(\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \cdot \mathcal{A}_b}\right).$

Exemplu: trunchiul de piramidă patrulateră regulată cu $L = 10$ cm, $l = 4$ cm, $h = 4$ cm are $a_B - a_b = 5 - 2 = 3$ cm, deci $a_t = \sqrt{16+9} = 5$ cm; $\mathcal{A}_l = \dfrac{(40+16) \cdot 5}{2} = 140$ cm² și $V = \dfrac{4}{3}(100 + 16 + \sqrt{1600}) = \dfrac{4}{3} \cdot 156 = 208$ cm³.

Legătura cu piramida din care provine. Dacă piramida mare are înălțimea $H$, iar secțiunea se face la distanța $H - h$ de vârf, raportul de asemănare este $k = \dfrac{l}{L} = \dfrac{H-h}{H}$. De aici se poate reconstitui $H$ și se poate calcula volumul trunchiului și ca diferență: $V_{trunchi} = V_{piramida\ mare} - V_{piramida\ mica}$.

La bazele particulare se folosesc apotemele cunoscute: pătrat $\dfrac{L}{2}$, triunghi echilateral $\dfrac{L\sqrt{3}}{6}$, hexagon regulat $\dfrac{L\sqrt{3}}{2}$. Unghiul diedru dintre o față laterală și baza mare este $\angle M'MO$ și se calculează în triunghiul $M'PM$: $\text{tg}(\angle M'MP) = \dfrac{h}{a_B - a_b}$.