Trunchiul de piramidă regulată: arii și volume

Lecția 11 din 13≈ 2 min de citit

Trunchiul de piramidă regulată se obține secționând o piramidă regulată cu un plan paralel cu baza și îndepărtând piramida mică de deasupra secțiunii. Rămân două baze paralele și asemenea: baza mare (cu latura $L$ , perimetrul $P_B$ , aria $\mathcal{A}_B$ , apotema $a_B$ ) și baza mică (cu latura $l$ , perimetrul $P_b$ , aria $\mathcal{A}_b$ , apotema $a_b$ ). Fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente.

Elementele trunchiului:

înălțimea $h = OO'$ — distanța dintre centrele celor două baze; $OO'$ este perpendiculară pe ambele baze;
apotema trunchiului $a_t = MM'$ — înălțimea unei fețe laterale (segmentul care unește mijloacele laturilor paralele ale trapezului);
muchia laterală $m$ — latura neparalelă a trapezului.

Proiectând $M'$ (mijlocul laturii bazei mici) pe planul bazei mari, piciorul $P$ cade pe apotema $OM$ , la distanța $a_b$ de centru, deci $PM = a_B - a_b$ . Din triunghiul dreptunghic $M'PM$ rezultă relația fundamentală:

$a_t^2 = h^2 + (a_B - a_b)^2.$

Analog, proiectând un vârf al bazei mici, se obține pentru muchia laterală $m^2 = h^2 + (R_B - R_b)^2$ , unde $R_B$ , $R_b$ sunt razele cercurilor circumscrise bazelor.

Ariile și volumul:

$\mathcal{A}_l = \frac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2}, \qquad \mathcal{A}_t = \mathcal{A}_l + \mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b,$

$V = \frac{h}{3}\left(\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \cdot \mathcal{A}_b}\right).$

Exemplu: trunchiul de piramidă patrulateră regulată cu $L = 10$ cm, $l = 4$ cm, $h = 4$ cm are $a_B - a_b = 5 - 2 = 3$ cm, deci $a_t = \sqrt{16+9} = 5$ cm; $\mathcal{A}_l = \dfrac{(40+16) \cdot 5}{2} = 140$ cm² și $V = \dfrac{4}{3}(100 + 16 + \sqrt{1600}) = \dfrac{4}{3} \cdot 156 = 208$ cm³.

Legătura cu piramida din care provine. Dacă piramida mare are înălțimea $H$ , iar secțiunea se face la distanța $H - h$ de vârf, raportul de asemănare este $k = \dfrac{l}{L} = \dfrac{H-h}{H}$ . De aici se poate reconstitui $H$ și se poate calcula volumul trunchiului și ca diferență: $V_{trunchi} = V_{piramida\ mare} - V_{piramida\ mica}$ .

La bazele particulare se folosesc apotemele cunoscute: pătrat $\dfrac{L}{2}$ , triunghi echilateral $\dfrac{L\sqrt{3}}{6}$ , hexagon regulat $\dfrac{L\sqrt{3}}{2}$ . Unghiul diedru dintre o față laterală și baza mare este $\angle M'MO$ și se calculează în triunghiul $M'PM$ : $\text{tg}(\angle M'MP) = \dfrac{h}{a_B - a_b}$ .

Formule

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Trunchiul de piramidă patrulateră regulată $ABCDA'B'C'D'$ are laturile bazelor $AB = 10$ cm, $A'B' = 4$ cm și înălțimea de $4$ cm. Calculați apotema trunchiului, aria laterală și volumul.

Vezi rezolvarea

Apotemele bazelor: $a_B = \dfrac{10}{2} = 5$ cm, $a_b = \dfrac{4}{2} = 2$ cm.

Apotema trunchiului: $a_t = \sqrt{h^2 + (a_B - a_b)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ cm.

$\mathcal{A}_l = \dfrac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2} = \dfrac{(40+16) \cdot 5}{2} = 140$ cm².

$\mathcal{A}_B = 100$ cm², $\mathcal{A}_b = 16$ cm², $\sqrt{\mathcal{A}_B \mathcal{A}_b} = \sqrt{1600} = 40$ cm².

$V = \dfrac{4}{3}(100 + 16 + 40) = \dfrac{4 \cdot 156}{3} = 208$ cm³.

Exemplul 2

Un trunchi de piramidă hexagonală regulată are laturile bazelor de $8$ cm și $4$ cm și înălțimea de $2$ cm. Calculați aria laterală și volumul trunchiului.

Vezi rezolvarea

Apotemele bazelor: $a_B = \dfrac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ cm, $a_b = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ cm; $a_B - a_b = 2\sqrt{3}$ cm.

$a_t = \sqrt{4 + 12} = 4$ cm, deci $\mathcal{A}_l = \dfrac{(48+24) \cdot 4}{2} = 144$ cm².

Ariile bazelor: $\mathcal{A}_B = \dfrac{3 \cdot 64\sqrt{3}}{2} = 96\sqrt{3}$ cm², $\mathcal{A}_b = \dfrac{3 \cdot 16\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ cm²; $\sqrt{\mathcal{A}_B \mathcal{A}_b} = \sqrt{96 \cdot 24 \cdot 3} = 48\sqrt{3}$ cm².

$V = \dfrac{2}{3}(96\sqrt{3} + 24\sqrt{3} + 48\sqrt{3}) = \dfrac{2}{3} \cdot 168\sqrt{3} = 112\sqrt{3}$ cm³.

Greșeli frecvente

Pe scurt

Trunchiul de piramidă regulată provine dintr-o piramidă regulată secționată cu un plan paralel cu baza; bazele sunt poligoane regulate asemenea, fețele laterale trapeze isoscele congruente.
Relația fundamentală: $a_t^2 = h^2 + (a_B - a_b)^2$ ; pentru muchie: $m^2 = h^2 + (R_B - R_b)^2$ .
$\mathcal{A}_l = \dfrac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2}$ ; $\mathcal{A}_t = \mathcal{A}_l + \mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b$ .
$V = \dfrac{h}{3}(\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \mathcal{A}_b})$ sau diferența volumelor celor două piramide.
Raportul de asemănare: $k = \dfrac{l}{L} = \dfrac{H-h}{H}$ ; raportul ariilor bazelor este $k^2$ .
Unghiul feței laterale cu baza mare: $\text{tg} = \dfrac{h}{a_B - a_b}$ , în triunghiul dreptunghic format de înălțime, apotema trunchiului și proiecție.

Ai terminat lecția

Exersează această lecție →Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.

Înapoi la toate lecțiile de Geometrie în spațiu

Trunchiul de piramidă regulată: arii și volume

Lecția 11 din 13≈ 2 min de citit

Elementele trunchiului:

înălțimea $h = OO'$ — distanța dintre centrele celor două baze; $OO'$ este perpendiculară pe ambele baze;
apotema trunchiului $a_t = MM'$ — înălțimea unei fețe laterale (segmentul care unește mijloacele laturilor paralele ale trapezului);
muchia laterală $m$ — latura neparalelă a trapezului.

$a_t^2 = h^2 + (a_B - a_b)^2.$

Analog, proiectând un vârf al bazei mici, se obține pentru muchia laterală $m^2 = h^2 + (R_B - R_b)^2$ , unde $R_B$ , $R_b$ sunt razele cercurilor circumscrise bazelor.

Ariile și volumul:

$\mathcal{A}_l = \frac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2}, \qquad \mathcal{A}_t = \mathcal{A}_l + \mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b,$

$V = \frac{h}{3}\left(\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \cdot \mathcal{A}_b}\right).$

Formule

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Trunchiul de piramidă patrulateră regulată $ABCDA'B'C'D'$ are laturile bazelor $AB = 10$ cm, $A'B' = 4$ cm și înălțimea de $4$ cm. Calculați apotema trunchiului, aria laterală și volumul.

Vezi rezolvarea

Apotemele bazelor: $a_B = \dfrac{10}{2} = 5$ cm, $a_b = \dfrac{4}{2} = 2$ cm.

Apotema trunchiului: $a_t = \sqrt{h^2 + (a_B - a_b)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ cm.

$\mathcal{A}_l = \dfrac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2} = \dfrac{(40+16) \cdot 5}{2} = 140$ cm².

$\mathcal{A}_B = 100$ cm², $\mathcal{A}_b = 16$ cm², $\sqrt{\mathcal{A}_B \mathcal{A}_b} = \sqrt{1600} = 40$ cm².

$V = \dfrac{4}{3}(100 + 16 + 40) = \dfrac{4 \cdot 156}{3} = 208$ cm³.

Exemplul 2

Un trunchi de piramidă hexagonală regulată are laturile bazelor de $8$ cm și $4$ cm și înălțimea de $2$ cm. Calculați aria laterală și volumul trunchiului.

Vezi rezolvarea

Apotemele bazelor: $a_B = \dfrac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ cm, $a_b = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ cm; $a_B - a_b = 2\sqrt{3}$ cm.

$a_t = \sqrt{4 + 12} = 4$ cm, deci $\mathcal{A}_l = \dfrac{(48+24) \cdot 4}{2} = 144$ cm².

$V = \dfrac{2}{3}(96\sqrt{3} + 24\sqrt{3} + 48\sqrt{3}) = \dfrac{2}{3} \cdot 168\sqrt{3} = 112\sqrt{3}$ cm³.

Greșeli frecvente

Pe scurt

Trunchiul de piramidă regulată provine dintr-o piramidă regulată secționată cu un plan paralel cu baza; bazele sunt poligoane regulate asemenea, fețele laterale trapeze isoscele congruente.
Relația fundamentală: $a_t^2 = h^2 + (a_B - a_b)^2$ ; pentru muchie: $m^2 = h^2 + (R_B - R_b)^2$ .
$\mathcal{A}_l = \dfrac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2}$ ; $\mathcal{A}_t = \mathcal{A}_l + \mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b$ .
$V = \dfrac{h}{3}(\mathcal{A}_B + \mathcal{A}_b + \sqrt{\mathcal{A}_B \mathcal{A}_b})$ sau diferența volumelor celor două piramide.
Raportul de asemănare: $k = \dfrac{l}{L} = \dfrac{H-h}{H}$ ; raportul ariilor bazelor este $k^2$ .
Unghiul feței laterale cu baza mare: $\text{tg} = \dfrac{h}{a_B - a_b}$ , în triunghiul dreptunghic format de înălțime, apotema trunchiului și proiecție.