Piramida regulată (baze: triunghi echilateral, pătrat, hexagon): apotema, arii, volume

Piramida regulată este piramida cu baza poligon regulat (triunghi echilateral, pătrat sau hexagon regulat) și cu piciorul înălțimii în centrul $O$ al bazei (centrul cercului circumscris). Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente, iar muchiile laterale sunt congruente.

Elementele-cheie (notăm cu $l$ latura bazei, $h = VO$ înălțimea):

• apotema bazei $a_b = OM$ — distanța de la centrul bazei la mijlocul $M$ al unei laturi;
• apotema piramidei $a_p = VM$ — înălțimea unei fețe laterale, dusă din vârful ;

Cum $VO \perp (ABC)$, triunghiurile $VOM$ și $VOA$ sunt dreptunghice în $O$ și dau relațiile fundamentale:

$a_p^2 = h^2 + a_b^2 \qquad \text{și} \qquad m^2 = h^2 + R^2,$

unde $m$ este muchia laterală. De reținut valorile pentru fiecare bază de latură $l$: la triunghiul echilateral $a_b = \dfrac{l\sqrt{3}}{6}$, , ; la , , ; la , , .

Ariile și volumul:

$\mathcal{A}_l = \frac{P_b \cdot a_p}{2}, \qquad \mathcal{A}_t = \mathcal{A}_l + \mathcal{A}_b, \qquad V = \frac{\mathcal{A}_b \cdot h}{3}.$

Exemplu: piramida patrulateră regulată cu $l = 8$ cm și $h = 3$ cm are $a_b = 4$ cm, $$ cm, cm², cm² și cm³.

Tetraedrul regulat este piramida triunghiulară regulată cu toate muchiile egale cu $l$. Înălțimea sa este $h = \dfrac{l\sqrt{6}}{3}$, iar volumul ; toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale, deci .

Unghiurile importante se citesc tot din triunghiurile dreptunghice cu vârful în $O$: unghiul dintre o față laterală și planul bazei este $\angle VMO$ (cu $\text{tg}(\angle VMO) = \dfrac{h}{a_b}$), iar unghiul dintre o muchie laterală și planul bazei este (cu ). Distanța de la centrul la o față laterală se obține ducând în planul — construcție justificată prin , demonstrată cu și .