Piramida regulată (baze: triunghi echilateral, pătrat, hexagon): apotema, arii, volume

Piramida regulată este piramida cu baza poligon regulat (triunghi echilateral, pătrat sau hexagon regulat) și cu piciorul înălțimii în centrul $O$ al bazei (centrul cercului circumscris). Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente, iar muchiile laterale sunt congruente.

Elementele-cheie (notăm cu $l$ latura bazei, $h = VO$ înălțimea):

• apotema bazei $a_b = OM$ — distanța de la centrul bazei la mijlocul $M$ al unei laturi;
• apotema piramidei $a_p = VM$ — înălțimea unei fețe laterale, dusă din vârful $V$;
• raza cercului circumscris bazei $R = OA$ — distanța de la centru la un vârf al bazei.

Cum $VO \perp (ABC)$, triunghiurile $VOM$ și $VOA$ sunt dreptunghice în $O$ și dau relațiile fundamentale:

$a_p^2 = h^2 + a_b^2 \qquad \text{și} \qquad m^2 = h^2 + R^2,$

unde $m$ este muchia laterală. De reținut valorile pentru fiecare bază de latură $l$: la triunghiul echilateral $a_b = \dfrac{l\sqrt{3}}{6}$, $R = \dfrac{l\sqrt{3}}{3}$, $\mathcal{A}_b = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}$; la pătrat $a_b = \dfrac{l}{2}$, $R = \dfrac{l\sqrt{2}}{2}$, $\mathcal{A}_b = l^2$; la hexagonul regulat $a_b = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}$, $R = l$, $\mathcal{A}_b = \dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2}$.

Ariile și volumul:

$\mathcal{A}_l = \frac{P_b \cdot a_p}{2}, \qquad \mathcal{A}_t = \mathcal{A}_l + \mathcal{A}_b, \qquad V = \frac{\mathcal{A}_b \cdot h}{3}.$

Exemplu: piramida patrulateră regulată cu $l = 8$ cm și $h = 3$ cm are $a_b = 4$ cm, $a_p = \sqrt{9+16} = 5$ cm, $\mathcal{A}_l = \dfrac{32 \cdot 5}{2} = 80$ cm², $\mathcal{A}_t = 80 + 64 = 144$ cm² și $V = \dfrac{64 \cdot 3}{3} = 64$ cm³.

Tetraedrul regulat este piramida triunghiulară regulată cu toate muchiile egale cu $l$. Înălțimea sa este $h = \dfrac{l\sqrt{6}}{3}$, iar volumul $V = \dfrac{l^3\sqrt{2}}{12}$; toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale, deci $\mathcal{A}_t = 4 \cdot \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} = l^2\sqrt{3}$.

Unghiurile importante se citesc tot din triunghiurile dreptunghice cu vârful în $O$: unghiul dintre o față laterală și planul bazei este $\angle VMO$ (cu $\text{tg}(\angle VMO) = \dfrac{h}{a_b}$), iar unghiul dintre o muchie laterală și planul bazei este $\angle VAO$ (cu $\text{tg}(\angle VAO) = \dfrac{h}{R}$). Distanța de la centrul $O$ la o față laterală se obține ducând $OH \perp VM$ în planul $(VOM)$ — construcție justificată prin $BC \perp (VOM)$, demonstrată cu $OM \perp BC$ și $VM \perp BC$.