Paralelipipedul dreptunghic și cubul: diagonale, arii, volume

Paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ este prisma dreaptă cu baza dreptunghi. Are 6 fețe (toate dreptunghiuri), 12 muchii și 8 vârfuri. Muchiile care pleacă din același vârf dau dimensiunile corpului: lungimea $a$, lățimea $b$ și înălțimea $c$. Fețele opuse sunt congruente și paralele.

Diagonala paralelipipedului este segmentul care unește două vârfuri ce nu aparțin aceleiași fețe (de exemplu $AC'$). Cele patru diagonale sunt congruente și au același mijloc (centrul de simetrie al corpului). Lungimea ei se obține aplicând teorema lui Pitagora de două ori: în baza $ABCD$, diagonala bazei este $AC = \sqrt{a^2+b^2}$; cum , triunghiul este dreptunghic în , deci , adică .

Aria totală este suma ariilor celor 6 fețe: $\mathcal{A}_t = 2(ab + bc + ca)$. Aria laterală (fără cele două baze): ${\mathcal{A}}_l=2c(a+b)=P_{}$. : . pentru , , obținem , și .

Cubul este paralelipipedul dreptunghic cu toate muchiile egale ($a=b=c=l$); toate fețele sunt pătrate congruente. Din formulele generale rezultă:

• diagonala feței: $d_f = l\sqrt{2}$ (diagonala unui pătrat de latură $l$);

Secțiunea diagonală a cubului (de exemplu $ACC'A'$) este un dreptunghi cu dimensiunile $l\sqrt{2}$ (diagonala bazei) și (muchia laterală), deci are aria . La paralelipipedul dreptunghic, secțiunea diagonală este un dreptunghi cu dimensiunile și .

Formulele „se citesc" și invers: din $\mathcal{A}_t = 6l^2 = 54$ rezultă $l = 3$, apoi ; din rezultă . La probleme practice (cutii, rezervoare, bazine), volumul se leagă de capacitate: litru, litri.

În problemele de „nota 10", cubul și paralelipipedul sunt terenul preferat pentru distanțe și unghiuri: diagonala $BD$ a bazei este perpendiculară pe planul diagonal $(ACC')$, triunghiul $A'BD$ din cub este echilateral (toate laturile sunt diagonale de fețe, egale cu ), iar distanța de la un vârf al bazei la un plan de tipul se calculează cu teorema celor trei perpendiculare sau prin echivalarea volumelor.