Prisma dreaptă (baze: triunghi echilateral, pătrat, hexagon): arii și volume

Prisma dreaptă — elemente

O prismă dreaptă este corpul geometric mărginit de două baze — poligoane congruente, situate în plane paralele — și de fețe laterale dreptunghiulare. Muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor, deci muchia laterală este chiar înălțimea prismei: $AA' = h$. Dacă baza este un poligon regulat, prisma se numește prismă regulată: triunghiulară regulată $ABCA'B'C'$ (baza triunghi echilateral), patrulateră regulată $ABCDA'B'C'D'$ (baza pătrat) și hexagonală regulată $ABCDEFA'B'C'D'E'F'$ (baza hexagon regulat).

Formulele generale ale prismei drepte

Desfășurând suprafața laterală obținem un dreptunghi cu dimensiunile $P_b$ (perimetrul bazei) și $h$, de aceea: $A_l = P_b \cdot h, \qquad A_t = A_l + 2A_b, \qquad V = A_b \cdot h,$ unde $A_b$ este aria bazei. Atenție: la arie totală se adună ambele baze.

Ariile și perimetrele bazelor

• Triunghi echilateral de latură $l$: $A_b = \dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}$, înălțimea $\dfrac{l\sqrt{3}}{2}$, $P_b = 3l$.
• Pătrat de latură $l$: $A_b = l^2$, diagonala $l\sqrt{2}$, $P_b = 4l$.
• Hexagon regulat de latură $l$: se descompune în $6$ triunghiuri echilaterale cu vârful în centrul $O$, deci $A_b = 6\cdot\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3l^2\sqrt{3}}{2}$; apotema este $\dfrac{l\sqrt{3}}{2}$, diagonala mare (care trece prin centru) este $2l$, iar $P_b = 6l$.

Exemplu inline: prisma triunghiulară regulată cu $l = 2$ cm și $h = 5$ cm are $A_b = \sqrt{3}$ cm², $A_l = 6\cdot 5 = 30$ cm², $A_t = 30 + 2\sqrt{3}$ cm² și $V = 5\sqrt{3}$ cm³.

Diagonalele feței și ale prismei

Fiecare față laterală este un dreptunghi cu dimensiunile $l$ și $h$, deci diagonala feței laterale este, din teorema lui Pitagora, $d_f = \sqrt{l^2 + h^2}$.

Prisma patrulateră regulată este un paralelipiped dreptunghic cu baza pătrat, deci diagonala prismei (de exemplu $BD'$) este $d = \sqrt{l^2 + l^2 + h^2} = \sqrt{2l^2 + h^2}$. Justificarea: $DD' \perp (ABCD)$ (prismă dreaptă), deci $DD' \perp BD$ și triunghiul $BDD'$ este dreptunghic în $D$, cu $BD = l\sqrt{2}$.

Prisma hexagonală regulată are diagonala mare $AD' = \sqrt{(2l)^2 + h^2} = \sqrt{4l^2 + h^2}$, pentru că $AD = 2l$ (diagonala mare a hexagonului) și triunghiul $ADD'$ este dreptunghic în $D$ ($DD' \perp$ planul bazei).

Aceste triunghiuri dreptunghice sunt și cheia problemelor de tip 6b): unghiul dintre o diagonală și planul bazei este unghiul dintre diagonală și proiecția ei pe bază (de exemplu $\widehat{D'AD}$, cu $\text{tg}\,\widehat{D'AD} = \dfrac{h}{AD}$), iar distanțele de la vârfuri la plane se calculează cu teorema celor trei perpendiculare, demonstrând fiecare perpendicularitate.

Observație despre unități

Ariile se exprimă în unități pătrate (cm², m²), volumele în unități cubice (cm³, m³); $1$ dm³ $= 1$ litru, $1$ m³ $= 1000$ litri — transformările apar des în problemele cu context practic (acvarii, rezervoare, cutii).