Teorema celor trei perpendiculare; calculul distanțelor punct–dreaptă și punct–plan

Distanța de la un punct la o dreaptă, notată $d(M, g)$, este lungimea segmentului $[MB]$, unde $B$ este piciorul perpendicularei duse din $M$ pe dreapta $g$. Distanța de la un punct la un plan, notată $d(M, \alpha)$, este lungimea segmentului $[MO]$, unde $O$ este piciorul perpendicularei duse din $M$ pe planul $\alpha$ (adică $MO \perp \alpha$). Aceasta este cea mai scurtă dintre distanțele de la $M$ la punctele planului: orice alt segment $MP$, cu $P \in \alpha$, este o oblică și $MP > MO$. Distanța dintre două plane paralele este distanța de la un punct oarecare al unui plan la celălalt plan; în corpurile studiate ea se măsoară pe o muchie perpendiculară pe ambele plane — de exemplu, în cub $d((ABCD), (A'B'C'D')) = AA'$.

Teorema celor trei perpendiculare (T3P)

Enunț. Dacă $MO \perp \alpha$, $O \in \alpha$, iar $OB \perp g$, unde $g \subset \alpha$ și $B \in g$, atunci $MB \perp g$.

Demonstrație. Din $MO \perp \alpha$ și $g \subset \alpha$ rezultă $MO \perp g$. Prin construcție, $OB \perp g$. Dreptele $MO$ și $OB$ sunt concurente în $O$, deci $g \perp (MOB)$. Cum $MB \subset (MOB)$, rezultă $g \perp MB$. ∎

Cele „trei perpendiculare” sunt: $MO \perp \alpha$ (perpendiculara pe plan), $OB \perp g$ (perpendiculara din picior pe dreaptă) și concluzia $MB \perp g$ (oblica perpendiculară pe dreaptă).

Reciproca 1. Dacă $MO \perp \alpha$ și $MB \perp g$ ($g \subset \alpha$, $B \in g$), atunci $OB \perp g$. (Demonstrație analoagă: $g \perp MO$ și $g \perp MB$ dau $g \perp (MOB)$, deci $g \perp OB$.)

Reciproca 2. Dacă $MB \perp g$, $OB \perp g$ și $MO \perp OB$ (cu $O \in \alpha$, $g \subset \alpha$, $B \in g$), atunci $MO \perp \alpha$. (Din $g \perp MB$ și $g \perp OB$ rezultă $g \perp (MOB)$, deci $g \perp MO$; cum și $MO \perp OB$, dreapta $MO$ este perpendiculară pe două drepte concurente din $\alpha$, deci $MO \perp \alpha$.)

Metoda de calcul: distanța de la un punct la o dreaptă

1. Identificăm perpendiculara pe plan: găsim $MO \perp \alpha$, unde $\alpha$ este planul care conține dreapta $g$ (de regulă o muchie sau o înălțime a corpului).
2. Construim din picior perpendiculara pe dreaptă: ducem $OB \perp g$, $B \in g$, și o calculăm în planul $\alpha$ (geometrie plană!).
3. Aplicăm T3P: $MB \perp g$, deci $d(M, g) = MB$, calculată cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $MOB$ ($\angle MOB = 90^\circ$, pentru că $MO \perp \alpha$ și $OB \subset \alpha$).

Metoda de calcul: distanța de la un punct la un plan

Schema standard pentru $d(M, \beta)$: căutăm o dreaptă $g \subset \beta$ și un plan auxiliar $\gamma$ care conține punctul $M$, astfel încât $g \perp \gamma$ (arătăm că $g$ este perpendiculară pe două drepte concurente din $\gamma$). Atunci $\beta \perp \gamma$, iar perpendiculara din $M$ pe dreapta de intersecție $\beta \cap \gamma$, fie ea $MH$, este perpendiculară pe tot planul $\beta$: într-adevăr, $MH \perp \beta \cap \gamma$ (construcție) și $MH \perp g$ (căci $g \perp \gamma \supset MH$), adică $MH$ e perpendiculară pe două drepte concurente din $\beta$. Deci $d(M, \beta) = MH$, care se calculează de obicei ca înălțime în triunghi dreptunghic: $h = \dfrac{c_1 \cdot c_2}{ip}$.

Metoda ariilor/volumelor (echivalarea volumelor)

Dacă $M$ și planul $\beta$ determină un tetraedru $MABC$ cu $A, B, C \in \beta$, volumul lui se poate scrie în două moduri: $V = \dfrac{\mathcal{A}_{ABC} \cdot d(M, (ABC))}{3}$ și, alegând altă față ca bază, $V = \dfrac{\mathcal{A}_{b} \cdot h_b}{3}$ cu o înălțime ușor de văzut (adesea o muchie perpendiculară pe o față). Egalând, obținem $d(M, (ABC)) = \dfrac{3V}{\mathcal{A}_{ABC}}$. Metoda evită construcția piciorului perpendicularei și este acceptată integral la barem — orice metodă corectă primește punctaj maxim.