Teorema celor trei perpendiculare; calculul distanțelor punct–dreaptă și punct–plan

Distanța de la un punct la o dreaptă, notată $d(M, g)$, este lungimea segmentului $[MB]$, unde $B$ este piciorul perpendicularei duse din $M$ pe dreapta $g$. Distanța de la un punct la un plan, notată $d(M, \alpha)$, este lungimea segmentului $[MO]$, unde $O$ este piciorul perpendicularei duse din $M$ pe planul $\alpha$ (adică $MO \perp \alpha$). Aceasta este cea mai scurtă dintre distanțele de la $M$ la punctele planului: orice alt segment $MP$, cu $P \in \alpha$, este o oblică și $MP > MO$. Distanța dintre două plane paralele este distanța de la un punct oarecare al unui plan la celălalt plan; în corpurile studiate ea se măsoară pe o muchie perpendiculară pe ambele plane — de exemplu, în cub $d((ABCD), (A'B'C'D')) = AA'$.

Teorema celor trei perpendiculare (T3P)

Enunț. Dacă $MO \perp \alpha$, $O \in \alpha$, iar $OB \perp g$, unde $g \subset \alpha$ și , atunci .

Demonstrație. Din $MO \perp \alpha$ și $g \subset \alpha$ rezultă $MO \perp g$. Prin construcție, $OB \perp g$. Dreptele și sunt concurente în , deci . Cum , rezultă . ∎

Cele „trei perpendiculare” sunt: $MO \perp \alpha$ (perpendiculara pe plan), $OB \perp g$ (perpendiculara din picior pe dreaptă) și concluzia $MB \perp g$ (oblica perpendiculară pe dreaptă).

Reciproca 1. Dacă $MO \perp \alpha$ și $MB \perp g$ ($g \subset \alpha$, $B \in g$), atunci . (Demonstrație analoagă: și dau , deci .)

Reciproca 2. Dacă $MB \perp g$, $OB \perp g$ și $MO \perp OB$ (cu $$, , ), atunci . (Din și rezultă , deci ; cum și , dreapta este perpendiculară pe două drepte concurente din , deci .)

Metoda de calcul: distanța de la un punct la o dreaptă

1. Identificăm perpendiculara pe plan: găsim $MO \perp \alpha$, unde $\alpha$ este planul care conține dreapta $g$ (de regulă o muchie sau o înălțime a corpului).
2. Construim din picior perpendiculara pe dreaptă: ducem $OB \perp g$, , și o calculăm în planul (geometrie plană!).

Metoda de calcul: distanța de la un punct la un plan

Schema standard pentru $d(M, \beta)$: căutăm o dreaptă $g \subset \beta$ și un plan auxiliar $\gamma$ care conține punctul $M$, astfel încât $g\perp \gamma$ (arătăm că este perpendiculară pe din ). Atunci , iar perpendiculara din pe dreapta de intersecție , fie ea , este perpendiculară pe tot planul : într-adevăr, (construcție) și (căci ), adică e perpendiculară pe două drepte concurente din . Deci , care se calculează de obicei ca : .

Metoda ariilor/volumelor (echivalarea volumelor)

Dacă $M$ și planul $\beta$ determină un tetraedru $MABC$ cu $A, B, C \in \beta$, volumul lui se poate scrie în două moduri: și, alegând altă față ca bază, cu o înălțime ușor de văzut (adesea o muchie perpendiculară pe o față). Egalând, obținem . Metoda evită construcția piciorului perpendicularei și este acceptată integral la barem — orice metodă corectă primește punctaj maxim.