Unghiul diedru; unghiul plan corespunzător; plane perpendiculare; unghiul a două plane; secțiuni diagonale și axiale

Unghiul diedru

Două semiplane $\alpha$ și $\beta$ care au aceeași dreaptă de margine $m$ formează un unghi diedru. Dreapta comună $m$ se numește muchia diedrului, iar cele două semiplane sunt fețele diedrului. De exemplu, două pagini ale unei cărți deschise formează un diedru cu muchia pe cotor; în cub, fețele $(ABB'A')$ și $(ABCD)$ formează un diedru cu muchia $AB$ .

Unghiul plan corespunzător diedrului

Pentru a măsura un diedru, îl reducem la un unghi obișnuit (plan). Alegem un punct $P$ pe muchia $m$ și ducem două semidrepte perpendiculare pe muchie, câte una în fiecare față: $a \subset \alpha$ , $a \perp m$ și $b \subset \beta$ , , ambele cu originea în . Unghiul format de semidreptele și se numește , iar . Măsura nu depinde de alegerea punctului pe muchie. Atenție: ambele semidrepte trebuie să fie perpendiculare pe muchie — dacă una dintre ele nu este perpendiculară pe muchie, unghiul obținut NU este unghiul diedrului. La probleme, perpendicularitatea celor două semidrepte pe muchie trebuie (mediană în triunghi isoscel, apotemă, teorema celor trei perpendiculare), nu doar citită de pe desen.

Plane perpendiculare

Două plane sunt perpendiculare dacă formează un diedru cu măsura de $90^\circ$ . Criteriul de perpendicularitate: un plan $\alpha$ este perpendicular pe un plan $\beta$ dacă $\alpha$ conține o dreaptă perpendiculară pe $\beta$ . De exemplu, în cub și , deci : fețele laterale ale cubului (și ale oricărei prisme drepte) sunt perpendiculare pe bază. Reciproc, dacă , rezultă că orice dreaptă din este perpendiculară pe — doar dreptele din perpendiculare pe muchia de intersecție au această proprietate.

Unghiul a două plane

Două plane secante formează patru diedre, două câte două congruente (opuse) și două câte două suplementare. Unghiul celor două plane este, prin convenție, diedrul ascuțit sau drept, deci are măsura în $[0^\circ, 90^\circ]$ . Plane paralele formează unghi de $0^\circ$ ; dacă unghiul este , planele sunt perpendiculare.

Secțiuni diagonale

Secțiunea diagonală a unei prisme (paralelipiped, cub) este secțiunea determinată de două muchii laterale care nu aparțin aceleiași fețe — planul trece prin diagonalele celor două baze. În paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ cu dimensiunile , , , secțiunea diagonală este un (deoarece , deci ) cu dimensiunile și . În cubul de muchie , secțiunea diagonală este un dreptunghi , cu aria — este pătrat!

Secțiuni axiale

Secțiunea axială a unui corp rotund este secțiunea printr-un plan care conține axa corpului. La cilindrul circular drept cu raza $R$ și înălțimea $h$ ( $G = h$ ), secțiunea axială este un dreptunghi cu dimensiunile $2R$ și $h$ , de arie . La cu raza , înălțimea și generatoarea , secțiunea axială este un cu baza și laturile congruente egale cu , de arie . Dacă secțiunea axială a conului este , conul se numește și are , ; cilindrul cu secțiunea axială pătrat () se numește .

Formule

Unghiul plan corespunzător diedrului (a și b ⊥ pe muchie, în fețe): $a \subset \alpha,\ b \subset \beta,\ a \perp m,\ b \perp m \ \Rightarrow\ m(\text{diedrului}) = m(\angle(a,b))$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

În cubul $ABCDA'B'C'D'$ se consideră planele și . Determinați măsura unghiului diedru format de cele două plane, în lungul muchiei .

Greșeli frecvente

Măsurarea diedrului cu semidrepte care NU sunt perpendiculare pe muchie (de exemplu, la piramidă, folosirea muchiei laterale $VB$ în loc de apotema $VM$: $VB$ nu este perpendiculară pe $BC$). Corect: unghiul plan corespunzător se construiește cu două semidrepte perpendiculare pe muchie în același punct, câte una în fiecare față, iar perpendicularitatea se demonstrează.
Afirmația „dacă $\alpha \perp \beta$, atunci orice dreaptă din $\alpha$ este perpendiculară pe $\beta$” este falsă. Corect: doar dreptele din $\alpha$ perpendiculare pe muchia de intersecție $\alpha \cap \beta$ sunt perpendiculare pe $\beta$; de exemplu, $(ABB'A') \perp (ABCD)$ în cub, dar $AB' \subset (ABB'A')$ nu este perpendiculară pe bază.
Confuzia dintre unghiul diedru (care poate fi și obtuz) și unghiul a două plane, care este prin convenție în $[0^\circ, 90^\circ]$: dacă din calcul rezultă un diedru obtuz, unghiul planelor este suplementul lui.
A considera că secțiunea diagonală a cubului este pătrat. Corect: este un dreptunghi cu dimensiunile $l\sqrt{2}$ (diagonala bazei) și $l$ (muchia), de arie $l^2\sqrt{2}$.
La secțiunea axială a conului, confundarea generatoarei cu înălțimea: laturile congruente ale triunghiului isoscel sunt generatoare ($G$), nu înălțimi; legătura este $G^2 = h^2 + R^2$.

Pe scurt

Diedrul = figura formată de două semiplane (fețele) cu aceeași dreaptă de margine (muchia). Măsura lui = măsura unghiului plan corespunzător, construit cu două semidrepte perpendiculare pe muchie în același punct, câte una în fiecare față — perpendicularitatea se demonstrează (mediană în triunghi isoscel, T3P).
Plane perpendiculare (criteriu): dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan, planele sunt perpendiculare; fețele laterale ale prismei drepte sunt perpendiculare pe bază.
Unghiul a două plane este diedrul ascuțit sau drept, deci în $[0^\circ, 90^\circ]$ .
La piramida regulată, diedrul dintre o față laterală și bază este $\angle VMO$ ( = mijlocul laturii bazei), cu .

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.

Înapoi la toate lecțiile de Geometrie în spațiu