Unghiul diedru; unghiul plan corespunzător; plane perpendiculare; unghiul a două plane; secțiuni diagonale și axiale

Unghiul diedru

Două semiplane $\alpha$ și $\beta$ care au aceeași dreaptă de margine $m$ formează un unghi diedru. Dreapta comună $m$ se numește muchia diedrului, iar cele două semiplane sunt fețele diedrului. De exemplu, două pagini ale unei cărți deschise formează un diedru cu muchia pe cotor; în cub, fețele $(ABB'A')$ și $(ABCD)$ formează un diedru cu muchia $AB$.

Unghiul plan corespunzător diedrului

Pentru a măsura un diedru, îl reducem la un unghi obișnuit (plan). Alegem un punct $P$ pe muchia $m$ și ducem două semidrepte perpendiculare pe muchie, câte una în fiecare față: $a \subset \alpha$, $a \perp m$ și $b \subset \beta$, $b \perp m$, ambele cu originea în $P$. Unghiul format de semidreptele $a$ și $b$ se numește unghiul plan corespunzător diedrului, iar măsura diedrului este măsura acestui unghi plan. Măsura nu depinde de alegerea punctului $P$ pe muchie. Atenție: ambele semidrepte trebuie să fie perpendiculare pe muchie în același punct — dacă una dintre ele nu este perpendiculară pe muchie, unghiul obținut NU este unghiul diedrului. La probleme, perpendicularitatea celor două semidrepte pe muchie trebuie demonstrată (mediană în triunghi isoscel, apotemă, teorema celor trei perpendiculare), nu doar citită de pe desen.

Plane perpendiculare

Două plane sunt perpendiculare dacă formează un diedru cu măsura de $90^\circ$. Criteriul de perpendicularitate: un plan $\alpha$ este perpendicular pe un plan $\beta$ dacă $\alpha$ conține o dreaptă perpendiculară pe $\beta$. De exemplu, în cub $AA' \perp (ABCD)$ și $AA' \subset (ABB'A')$, deci $(ABB'A') \perp (ABCD)$: fețele laterale ale cubului (și ale oricărei prisme drepte) sunt perpendiculare pe bază. Reciproc, dacă $\alpha \perp \beta$, nu rezultă că orice dreaptă din $\alpha$ este perpendiculară pe $\beta$ — doar dreptele din $\alpha$ perpendiculare pe muchia de intersecție au această proprietate.

Unghiul a două plane

Două plane secante formează patru diedre, două câte două congruente (opuse) și două câte două suplementare. Unghiul celor două plane este, prin convenție, diedrul ascuțit sau drept, deci are măsura în $[0^\circ, 90^\circ]$. Plane paralele formează unghi de $0^\circ$; dacă unghiul este $90^\circ$, planele sunt perpendiculare.

Secțiuni diagonale

Secțiunea diagonală a unei prisme (paralelipiped, cub) este secțiunea determinată de două muchii laterale care nu aparțin aceleiași fețe — planul trece prin diagonalele celor două baze. În paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ cu dimensiunile $a$, $b$, $c$, secțiunea diagonală $BDD'B'$ este un dreptunghi (deoarece $BB' \perp (ABCD)$, deci $BB' \perp BD$) cu dimensiunile $BD = \sqrt{a^2+b^2}$ și $BB' = c$. În cubul de muchie $l$, secțiunea diagonală este un dreptunghi $l\sqrt{2} \times l$, cu aria $l^2\sqrt{2}$ — nu este pătrat!

Secțiuni axiale

Secțiunea axială a unui corp rotund este secțiunea printr-un plan care conține axa corpului. La cilindrul circular drept cu raza $R$ și înălțimea $h$ ($G = h$), secțiunea axială este un dreptunghi cu dimensiunile $2R$ și $h$, de arie $2Rh$. La conul circular drept cu raza $R$, înălțimea $h$ și generatoarea $G$, secțiunea axială este un triunghi isoscel cu baza $2R$ și laturile congruente egale cu $G$, de arie $\frac{2R \cdot h}{2} = Rh$. Dacă secțiunea axială a conului este triunghi echilateral, conul se numește con echilateral și are $G = 2R$, $h = R\sqrt{3}$; cilindrul cu secțiunea axială pătrat ($h = 2R$) se numește cilindru echilateral.