Proiecții ortogonale pe plan; unghiul dintre dreaptă și plan; lungimea proiecției

Proiecția ortogonală a unui punct pe un plan

Fie un plan $\alpha$ și un punct $M$ . Proiecția ortogonală a lui $M$ pe $\alpha$ este piciorul $M'$ al perpendicularei duse din $M$ pe plan: $MM' \perp \alpha$ , $M' \in \alpha$ . Scriem $M' = \text{pr}_{\alpha}\, M$ . Dacă $M \in \alpha$ , atunci proiecția lui $M$ este chiar $M$ . Proiecția este unică, pentru că dintr-un punct se poate duce o singură perpendiculară pe un plan.

De exemplu, în cubul $ABCDA'B'C'D'$ , proiecția lui pe planul este , deoarece muchia laterală este perpendiculară pe planul bazei.

Proiecția unui segment și a unei drepte

Proiecția unei figuri pe un plan este mulțimea proiecțiilor tuturor punctelor figurii.

Proiecția unei drepte $d$ pe $\alpha$ : dacă $d \perp \alpha$ , proiecția este un punct (piciorul perpendicularei); altfel, proiecția este o dreaptă $d'$ .
Proiecția unui segment (neperpendicular pe plan) este segmentul , unde și sunt proiecțiile capetelor.

Lungimea proiecției

Dacă segmentul $AB$ formează cu planul $\alpha$ unghiul $u$ , atunci lungimea proiecției este $A'B' = AB \cdot \cos u.$ Cazuri particulare: dacă sau , proiecția are aceeași lungime (); dacă , proiecția este un punct (). Cum , proiecția unui segment este cu segmentul. Exemplu: un segment de cm care formează cu planul are proiecția cm.

Unghiul dintre o dreaptă și un plan

Dacă $d \perp \alpha$ , unghiul dintre $d$ și $\alpha$ este $90^\circ$ .
Dacă $d \parallel \alpha$ sau , unghiul este .

Acest unghi este cel mai mic dintre unghiurile formate de $d$ cu dreptele planului și aparține mereu intervalului $[0^\circ, 90^\circ]$ .

Cum îl construim practic. Fie $I$ punctul în care dreapta $d$ înțeapă planul ( $d \cap \alpha = \{I\}$ ). Alegem un punct convenabil $P \in d$ , , și . Atunci este proiecția lui , iar unghiul căutat este . În triunghiul dreptunghic (dreptunghic în ):

Aplicații tipice la examen

Muchia laterală a piramidei regulate cu baza: proiecția vârfului $V$ pe planul bazei este centrul $O$ al bazei, deci proiecția muchiei $VA$ este $OA$ ; unghiul este $\angle VAO$ , cu și , unde este raza cercului circumscris bazei.

Formule

Lungimea proiecției unui segment: $A'B' = AB \cdot \cos u$
Unghiul dreaptă–plan (cazuri particulare): $d$

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Punctul $M$ este exterior planului $\alpha$ , iar $N \in \alpha$ . Segmentul $MN$ are lungimea $12$ cm și formează cu planul un unghi de . Calculați lungimea proiecției segmentului pe planul și distanța de la punctul la plan.

Greșeli frecvente

Calcularea lungimii proiecției cu sinus: „proiecția $= l \cdot \sin u$”. Corect: proiecția unui segment care formează unghiul $u$ cu planul este $l \cdot \cos u$; cu $\sin u$ se calculează distanța de la capătul segmentului la plan.
Confundarea unghiului dintre dreaptă și plan cu unghiul dintre dreaptă și perpendiculara pe plan. Corect: unghiul dreaptă–plan este unghiul dintre dreaptă și **proiecția ei** pe plan; unghiul cu perpendiculara este complementul lui.
Alegerea piciorului perpendicularei „după ochi”, fără justificare. Corect: poziția proiecției se demonstrează — de exemplu, la piramida regulată proiecția vârfului este **centrul bazei** $O$ (nu mijlocul unei laturi), iar în cub proiecția lui $C'$ pe bază este $C$, pentru că $CC' \perp (ABCD)$.
A da ca răspuns un unghi obtuz. Unghiul dintre o dreaptă și un plan aparține intervalului $[0^\circ, 90^\circ]$; el este cel mai mic unghi dintre dreaptă și dreptele planului.
Confuzia dintre diagonala feței cubului ($l\sqrt{2}$) și diagonala cubului ($l\sqrt{3}$) în calculul unghiului diagonalei cu baza.

Pe scurt

Proiecția ortogonală a unui punct $M$ pe planul $\alpha$ este piciorul perpendicularei din $M$ pe $\alpha$ ; proiecția unei drepte neperpendiculare pe plan este o dreaptă, iar a unei drepte perpendiculare — un punct.
Lungimea proiecției unui segment: $A'B' = AB \cdot \cos u$ , unde este unghiul dintre segment și plan; proiecția este întotdeauna segmentul.

Exersează această lecție →

Grile și probleme cu feedback imediat pe barem.

Înapoi la toate lecțiile de Geometrie în spațiu