Proiecții ortogonale pe plan; unghiul dintre dreaptă și plan; lungimea proiecției

Proiecția ortogonală a unui punct pe un plan

Fie un plan $\alpha$ și un punct $M$. Proiecția ortogonală a lui $M$ pe $\alpha$ este piciorul $M'$ al perpendicularei duse din $M$ pe plan: $MM' \perp \alpha$, $M' \in \alpha$. Scriem $M' = \text{pr}_{\alpha}\, M$. Dacă $M \in \alpha$, atunci proiecția lui $M$ este chiar $M$. Proiecția este unică, pentru că dintr-un punct se poate duce o singură perpendiculară pe un plan.

De exemplu, în cubul $ABCDA'B'C'D'$, proiecția lui $B'$ pe planul $(ABCD)$ este $B$, deoarece muchia laterală $BB'$ este perpendiculară pe planul bazei.

Proiecția unui segment și a unei drepte

Proiecția unei figuri pe un plan este mulțimea proiecțiilor tuturor punctelor figurii.

• Proiecția unei drepte $d$ pe $\alpha$: dacă $d \perp \alpha$, proiecția este un punct (piciorul perpendicularei); altfel, proiecția este o dreaptă $d'$.
• Proiecția unui segment $AB$ (neperpendicular pe plan) este segmentul $A'B'$, unde $A'$ și $B'$ sunt proiecțiile capetelor.

Lungimea proiecției

Dacă segmentul $AB$ formează cu planul $\alpha$ unghiul $u$, atunci lungimea proiecției este $A'B' = AB \cdot \cos u.$ Cazuri particulare: dacă $AB \parallel \alpha$ sau $AB \subset \alpha$, proiecția are aceeași lungime ($\cos 0^\circ = 1$); dacă $AB \perp \alpha$, proiecția este un punct ($\cos 90^\circ = 0$). Cum $\cos u \le 1$, proiecția unui segment este întotdeauna cel mult egală cu segmentul. Exemplu: un segment de $10$ cm care formează $60^\circ$ cu planul are proiecția $10 \cdot \cos 60^\circ = 5$ cm.

Unghiul dintre o dreaptă și un plan

• Dacă $d \perp \alpha$, unghiul dintre $d$ și $\alpha$ este $90^\circ$.
• Dacă $d \parallel \alpha$ sau $d \subset \alpha$, unghiul este $0^\circ$.
• Altfel, unghiul dintre dreapta $d$ și planul $\alpha$ este, prin definiție, unghiul dintre $d$ și proiecția ei $d'$ pe $\alpha$.

Acest unghi este cel mai mic dintre unghiurile formate de $d$ cu dreptele planului și aparține mereu intervalului $[0^\circ, 90^\circ]$.

Cum îl construim practic. Fie $I$ punctul în care dreapta $d$ înțeapă planul ($d \cap \alpha = \{I\}$). Alegem un punct convenabil $P \in d$, $P \neq I$, și coborâm perpendiculara $PP' \perp \alpha$. Atunci $IP'$ este proiecția lui $IP$, iar unghiul căutat este $\angle PIP'$. În triunghiul dreptunghic $PP'I$ (dreptunghic în $P'$): $\sin u = \frac{PP'}{PI}, \qquad \cos u = \frac{P'I}{PI}, \qquad \text{tg}\, u = \frac{PP'}{P'I}.$

Aplicații tipice la examen

• Muchia laterală a piramidei regulate cu baza: proiecția vârfului $V$ pe planul bazei este centrul $O$ al bazei, deci proiecția muchiei $VA$ este $OA$; unghiul este $\angle VAO$, cu $\cos u = \frac{R}{VA}$ și $\text{tg}\, u = \frac{h}{R}$, unde $R = OA$ este raza cercului circumscris bazei.
• Diagonala cubului cu planul bazei: proiecția lui $AC'$ pe $(ABCD)$ este $AC$ (fiindcă $CC' \perp (ABCD)$); unghiul $u = \angle C'AC$ are $\text{tg}\, u = \frac{l}{l\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Generatoarea conului cu planul bazei: proiecția vârfului $V$ este centrul $O$ al bazei, deci unghiul dintre generatoarea $VA$ și bază este $\angle VAO$, cu $\cos u = \frac{R}{G}$ și $\text{tg}\, u = \frac{h}{R}$.