Drepte perpendiculare în spațiu; dreapta perpendiculară pe plan; înălțimile corpurilor

Drepte perpendiculare în spațiu

Două drepte din spațiu sunt perpendiculare dacă unghiul dintre ele are $90^\circ$. Important: dreptele perpendiculare pot fi concurente, dar și necoplanare — unghiul dintre două drepte necoplanare se determină prin translatare (înlocuim o dreaptă cu o paralelă la ea care o întâlnește pe cealaltă). De exemplu, în cubul $ABCDA'B'C'D'$, dreptele $AB$ și $CC'$ nu se ating, dar $CC' \parallel BB'$ și $AB \perp BB'$, deci $AB \perp CC'$: sunt perpendiculare și necoplanare.

Dreapta perpendiculară pe plan

Definiție. O dreaptă $d$ este perpendiculară pe planul $\alpha$ (scriem $d \perp \alpha$) dacă este perpendiculară pe orice dreaptă conținută în $\alpha$.

Nu putem verifica direct perpendicularitatea pe „orice dreaptă” — de aceea folosim:

Criteriul de perpendicularitate dreaptă–plan. Dacă $d \perp a$ și $d \perp b$, unde $a$ și $b$ sunt două drepte concurente conținute în planul $\alpha$, atunci $d \perp \alpha$. Sunt suficiente două drepte, dar este obligatoriu ca ele să fie concurente: perpendicularitatea pe o singură dreaptă (sau pe două drepte paralele) din plan nu garantează nimic.

Consecința (proprietatea cea mai folosită). Dacă $d \perp \alpha$, atunci $d$ este perpendiculară pe orice dreaptă din $\alpha$. Acesta este mecanismul standard de lucru: demonstrezi perpendicularitatea pe două drepte concurente și primești, gratuit, perpendicularitatea pe toate dreptele planului.

Alte proprietăți: printr-un punct dat trece o unică dreaptă perpendiculară pe un plan dat; punctul în care perpendiculara înțeapă planul se numește piciorul perpendicularei; distanța de la un punct la un plan este lungimea segmentului de perpendiculară dus din punct pe plan.

Exemplu fundamental (cubul). În cubul $ABCDA'B'C'D'$: $AA' \perp AB$ (unghi al pătratului $ABB'A'$) și $AA' \perp AD$ (unghi al pătratului $ADD'A'$); cum $AB \cap AD = \{A\}$ și $AB, AD \subset (ABCD)$, criteriul dă $AA' \perp (ABCD)$. Prin consecință, $AA'$ este perpendiculară și pe diagonalele $AC$ și $BD$ ale bazei — deși acest lucru „nu se vede” pe desen.

Înălțimile corpurilor

Prisma dreaptă (inclusiv paralelipipedul dreptunghic și cubul): muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor (fiecare muchie laterală e perpendiculară pe două laturi concurente ale bazei). De aceea înălțimea prismei drepte este muchia laterală: $h = AA'$.

Piramida regulată $VABCD$ (baza pătrat): înălțimea este $VO$, unde $O$ este centrul bazei (intersecția diagonalelor). Justificare: $VA = VC$ (muchii laterale congruente) și $O$ este mijlocul lui $AC$, deci mediana $VO$ a triunghiului isoscel $VAC$ este și înălțime: $VO \perp AC$; analog $VO \perp BD$; cum $AC \cap BD = \{O\}$ și ambele sunt în planul bazei, rezultă $VO \perp (ABCD)$. Din triunghiul dreptunghic $VOA$: $VA^2 = VO^2 + OA^2$, adică $l_{lat}^2 = h^2 + R^2$, unde $R$ este raza cercului circumscris bazei. Analog, apotema piramidei: $a_p^2 = h^2 + a_b^2$.

Tetraedrul regulat cu muchia $l$: piciorul înălțimii este centrul feței opuse, iar $h = \dfrac{l\sqrt{6}}{3}$.

Conul circular drept: înălțimea $VO$ unește vârful cu centrul bazei și $VO \perp$ planul bazei; între generatoare, înălțime și rază: $G^2 = h^2 + R^2$.

Cilindrul circular drept: generatoarele sunt perpendiculare pe planele bazelor, deci $h = G$ (înălțimea este egală cu generatoarea).

Regula de aur la examen: la Subiectul III, nicio perpendicularitate nu se acceptă „din desen” — fiecare se demonstrează cu criteriul (două drepte concurente) sau se justifică din proprietățile corpului (muchie laterală de prismă dreaptă, înălțime de piramidă regulată etc.).