Pozițiile unei drepte față de cerc; pozițiile relative a două cercuri

Pentru a stabili cum se așază o dreaptă sau un al doilea cerc față de un cerc dat, comparăm o distanță cu raza (sau cu suma/diferența razelor). Totul se reduce la câteva inegalități pe care merită să le știi pe de rost.

A. Pozițiile unei drepte față de un cerc. Fie cercul $\mathcal{C}(O, R)$ și o dreaptă $g$. Notăm cu $d = d(O, g)$ distanța de la centru la dreaptă (lungimea perpendicularei din $O$ pe $g$). Comparând $d$ cu $R$ obținem trei situații:

• dreaptă exterioară: $d > R$ — dreapta și cercul nu au niciun punct comun;
• dreaptă tangentă: $d = R$ — dreapta are exact un punct comun cu cercul (punctul de tangență), iar în acel punct $g \perp OT$;
• dreaptă secantă: $$ — dreapta are cu cercul și determină o coardă de lungime .

Reține corespondența: $d > R \Rightarrow 0$ puncte, $d = R \Rightarrow 1$ punct, $d < R \Rightarrow 2$ puncte.

B. Pozițiile relative a două cercuri. Fie două cercuri $\mathcal{C}(O_1, R)$ și $\mathcal{C}(O_2, r)$ cu , iar . Comparând cu și cu obținem cinci poziții:

• cercuri exterioare: $d > R + r$ — niciun punct comun, unul în afara celuilalt; 4 tangente comune;
• cercuri tangente exterior: $d = R + r$ — un singur punct comun, cercurile se ating pe dinafară; 3 tangente comune;
• cercuri secante: $R - r < d < R + r$ — ; (ambele exterioare);

Tabelul numărului de tangente comune este un rezumat rapid: $4$ (exterioare), $3$ (tangente exterior), $2$ (secante), $1$ (tangente interior), $0$ (interioare/concentrice).

Cum le ții minte fără să le confunzi. Cele două praguri sunt $R + r$ (suma) și $R - r$ (diferența). Când cercurile se ating pe dinafară, centrele sunt cel mai depărtate, deci distanța este suma razelor: $d = R + r$. Când se ating , un centru e „aproape” de celălalt, deci distanța este razelor: . Între cele două praguri () cercurile se întretaie (secante). Sub pragul mic () unul e închis în celălalt.

Legături cu restul geometriei cercului. La poziția tangentă (dreaptă–cerc) revine proprietatea $g \perp OT$: tangenta este perpendiculară pe raza din punctul de tangență. La cercuri tangente (interior sau exterior), punctul de tangență și cele două centre sunt coliniare — o observație folosită des în probleme. Aceste clasificări apar la Subiectul II (grile cu figură dată) și sprijină subpunctele de la problemele de cerc din Subiectul III.