Pozițiile unei drepte față de cerc; pozițiile relative a două cercuri

Pentru a stabili cum se așază o dreaptă sau un al doilea cerc față de un cerc dat, comparăm o distanță cu raza (sau cu suma/diferența razelor). Totul se reduce la câteva inegalități pe care merită să le știi pe de rost.

A. Pozițiile unei drepte față de un cerc. Fie cercul $\mathcal{C}(O, R)$ și o dreaptă $g$. Notăm cu $d = d(O, g)$ distanța de la centru la dreaptă (lungimea perpendicularei din $O$ pe $g$). Comparând $d$ cu $R$ obținem trei situații:

• dreaptă exterioară: $d > R$ — dreapta și cercul nu au niciun punct comun;
• dreaptă tangentă: $d = R$ — dreapta are exact un punct comun cu cercul (punctul de tangență), iar în acel punct $g \perp OT$;
• dreaptă secantă: $d < R$ — dreapta are două puncte comune cu cercul și determină o coardă de lungime $2\sqrt{R^2 - d^2}$.

Reține corespondența: $d > R \Rightarrow 0$ puncte, $d = R \Rightarrow 1$ punct, $d < R \Rightarrow 2$ puncte.

B. Pozițiile relative a două cercuri. Fie două cercuri $\mathcal{C}(O_1, R)$ și $\mathcal{C}(O_2, r)$ cu $R \ge r$, iar $d = O_1O_2$ distanța dintre centre. Comparând $d$ cu $R + r$ și cu $R - r$ obținem cinci poziții:

• cercuri exterioare: $d > R + r$ — niciun punct comun, unul în afara celuilalt; 4 tangente comune;
• cercuri tangente exterior: $d = R + r$ — un singur punct comun, cercurile se ating pe dinafară; 3 tangente comune;
• cercuri secante: $R - r < d < R + r$ — două puncte comune; 2 tangente comune (ambele exterioare);
• cercuri tangente interior: $d = R - r$ — un singur punct comun, cercul mic este atins pe interior; 1 tangentă comună;
• cercuri interioare: $d < R - r$ — niciun punct comun, cercul mic e complet în interiorul celui mare; 0 tangente comune. Caz particular: dacă $d = 0$, cercurile au același centru și se numesc concentrice.

Tabelul numărului de tangente comune este un rezumat rapid: $4$ (exterioare), $3$ (tangente exterior), $2$ (secante), $1$ (tangente interior), $0$ (interioare/concentrice).

Cum le ții minte fără să le confunzi. Cele două praguri sunt $R + r$ (suma) și $R - r$ (diferența). Când cercurile se ating pe dinafară, centrele sunt cel mai depărtate, deci distanța este suma razelor: $d = R + r$. Când se ating pe dinăuntru, un centru e „aproape” de celălalt, deci distanța este diferența razelor: $d = R - r$. Între cele două praguri ($R - r < d < R + r$) cercurile se întretaie (secante). Sub pragul mic ($d < R - r$) unul e închis în celălalt.

Legături cu restul geometriei cercului. La poziția tangentă (dreaptă–cerc) revine proprietatea $g \perp OT$: tangenta este perpendiculară pe raza din punctul de tangență. La cercuri tangente (interior sau exterior), punctul de tangență și cele două centre sunt coliniare — o observație folosită des în probleme. Aceste clasificări apar la Subiectul II (grile cu figură dată) și sprijină subpunctele de la problemele de cerc din Subiectul III.