Proprietăți coarde–arce; diametrul perpendicular pe coardă; tangente dintr-un punct exterior

Într-un cerc de centru $O$ și rază $R$, o coardă este un segment care unește două puncte de pe cerc, iar diametrul este coarda care trece prin centru (cea mai lungă coardă, egală cu $2R$). Fiecare coardă $AB$ împarte cercul în două arce. În această lecție studiem legăturile dintre coarde, arce și distanța până la centru, precum și tangentele.

1. Arce congruente ↔ coarde congruente. Într-un cerc (sau în cercuri congruente), două arce sunt congruente dacă și numai dacă coardele care le subîntind sunt congruente:

$\overarc{AB} \equiv \overarc{CD} \iff AB \equiv CD.$

Motivul: unghiurile la centru corespunzătoare sunt congruente, deci triunghiurile isoscele $\triangle OAB$ și $\triangle OCD$ (cu laturile egale cu $R$) sunt congruente (LUL).

2. Diametrul perpendicular pe o coardă. Dacă un diametru (sau o rază) este perpendicular pe o coardă $AB$, atunci el înjumătățește coarda și înjumătățește cele două arce subîntinse de ea:

$OM \perp AB \implies MA = MB \ \text{ și } \ \overarc{AM} \equiv \overarc{MB}.$

Reciproc, dreapta care unește centrul cu mijlocul unei coarde este perpendiculară pe coardă. De aici obținem o formulă foarte utilă: dacă $d = OM$ este distanța de la centru la coardă, atunci semicoarda este cateta într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $R$:

$MA = \sqrt{R^2 - d^2}, \qquad AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}.$

3. Coarde egal depărtate de centru. Într-un cerc, două coarde sunt congruente dacă și numai dacă sunt egal depărtate de centru: $AB \equiv CD \iff d(O, AB) = d(O, CD)$. Cu cât o coardă este mai aproape de centru, cu atât este mai lungă; diametrul (distanța $0$) este cea mai lungă coardă.

4. Tangenta la cerc. O dreaptă este tangentă cercului dacă îl atinge într-un singur punct, numit punct de tangență. Proprietatea fundamentală: tangenta este perpendiculară pe raza dusă în punctul de tangență:

$OT \perp t \ \text{ (dreapta tangentă în } T).$

Reciproc, dreapta perpendiculară pe o rază, în capătul ei de pe cerc, este tangentă cercului.

5. Tangente dintr-un punct exterior. Dintr-un punct $P$ situat în exteriorul cercului se pot duce exact două tangente, cu punctele de tangență $A$ și $B$. Ele au proprietăți importante:

• segmentele tangente sunt congruente: $PA = PB$;
• dreapta $PO$ (centrul cu punctul exterior) este bisectoarea unghiului $\angle APB$ și, totodată, mediatoarea coardei $AB$;
• triunghiurile $\triangle OAP$ și $\triangle OBP$ sunt dreptunghice (în $A$, respectiv $B$) și congruente (IC).

Deoarece $\triangle OAP$ este dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $OP$ și cateta $OA = R$, lungimea tangentei din $P$ se calculează cu teorema lui Pitagora:

$PA = \sqrt{OP^2 - R^2}.$

Aceste proprietăți apar constant la Subiectul II (grile cu figură) și la subpunctele grele ale problemelor de cerc din Subiectul III.