Perimetre și arii: triunghi, paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat, trapez

Perimetrul unei figuri este suma lungimilor laturilor sale (lungimea conturului), iar aria este măsura suprafeței închise de contur. Perimetrul se măsoară în unități de lungime ($\text{cm}$, $\text{m}$), iar aria în unități pătratice ($\text{cm}^2$, $\text{m}^2$). Reținem că $1\,\text{m}^2 = 100\,\text{dm}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2$: la trecerea între unități de arie, raportul se ridică la pătrat.

Triunghiul

Pentru orice triunghi, aria este jumătate din produsul dintre o bază și înălțimea corespunzătoare ei: $\mathcal{A} = \frac{b \cdot h}{2}.$ Înălțimea este segmentul perpendicular din vârful opus pe latura-bază. La un triunghi dreptunghic, cele două catete sunt perpendiculare, deci una este înălțime pentru cealaltă: $\mathcal{A} = \frac{c_1 \cdot c_2}{2}.$ La triunghiul echilateral cu latura $l$, înălțimea este $h = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}$, de unde aria: $\mathcal{A} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}.$ Perimetrul triunghiului este suma laturilor; la cel echilateral $P = 3l$.

Pătratul și dreptunghiul

La pătrat cu latura $l$: $P = 4l$ și $\mathcal{A} = l^2$. La dreptunghi cu lungimea $L$ și lățimea $\ell$: $P = 2(L+\ell)$ și $\mathcal{A} = L \cdot \ell$.

Paralelogramul

Aria paralelogramului este produsul dintre o bază și înălțimea corespunzătoare acelei baze (distanța dintre baza aleasă și latura paralelă cu ea): $\mathcal{A} = b \cdot h.$ Atenție: înălțimea $h$ nu este latura oblică, ci distanța perpendiculară dintre laturile paralele. Aria nu se calculează înmulțind cele două laturi, decât dacă unghiul dintre ele este drept (adică figura e dreptunghi). Perimetrul este $P = 2(a+b)$, unde $a$ și $b$ sunt lungimile a două laturi alăturate.

Rombul

Rombul este paralelogramul cu toate laturile congruente, deci are $P = 4l$. Aria se poate calcula ca la orice paralelogram, $\mathcal{A} = b \cdot h$ (latura ori înălțimea), dar cel mai des se folosește formula cu diagonalele, care în romb sunt perpendiculare: $\mathcal{A} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}.$

Trapezul

Trapezul are două laturi paralele, numite baze ($B$ = baza mare, $b$ = baza mică), iar distanța dintre ele este înălțimea $h$. Aria este: $\mathcal{A} = \frac{(B+b)\cdot h}{2}.$ Se observă că aria trapezului este egală cu produsul dintre linia mijlocie $\dfrac{B+b}{2}$ și înălțime. Perimetrul este suma celor patru laturi.

În rezolvarea problemelor, înălțimile care nu sunt date direct se află frecvent cu teorema lui Pitagora (de exemplu, înălțimea triunghiului echilateral sau a trapezului isoscel). Verifică întotdeauna că baza și înălțimea folosite sunt corespunzătoare (perpendiculare între ele) și că toate lungimile sunt exprimate în aceeași unitate de măsură înainte de a calcula.