Funcții definite pe mulțimi finite; graficul unei funcții

Noțiunea de funcție

Fie $A$ și $B$ două mulțimi nevide. O funcție definită pe $A$ cu valori în $B$ este o regulă (lege de corespondență) prin care fiecărui element $x \in A$ i se asociază un singur element din $B$. Scriem $f : A \to B$.

• Mulțimea $A$ se numește domeniul de definiție al funcției;
• Mulțimea $B$ se numește codomeniul funcției;
• Elementul asociat lui $x$ se notează $f(x)$ și se numește imaginea lui $x$ prin $f$ (sau valoarea funcției în $x$).

Condiția esențială este: fiecărui $x$ din domeniu îi corespunde exact o valoare $f(x)$. Dacă un element din $A$ nu are imagine, sau are două imagini diferite, corespondența nu este funcție.

Moduri de a defini o funcție

O funcție pe o mulțime finită poate fi dată în trei feluri echivalente:

1. Printr-o diagramă (cu săgeți). Elementele lui $A$ și $B$ se scriu în două „ovale”, iar săgețile arată corespondența. Este funcție dacă din fiecare element al lui $A$ pleacă exact o săgeată.

2. Printr-un tabel de valori. Pe primul rând se trec elementele domeniului, iar pe al doilea imaginile lor:

$x$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$4$	$7$	$10$

3. Printr-o formulă. De exemplu $f : \{1, 2, 3\} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x + 1$. Calculăm imaginile înlocuind: $f(1) = 3 \cdot 1 + 1 = 4$, $f(2) = 7$, $f(3) = 10$ (aceleași valori ca în tabelul de mai sus).

Graficul unei funcții

Graficul funcției $f : A \to B$ este mulțimea perechilor ordonate $(x, f(x))$, cu $x$ parcurgând domeniul: $G_f = \{(x, f(x)) \mid x \in A\}.$ Aceste perechi sunt coordonatele unor puncte în sistemul de axe $xOy$. Pentru o funcție definită pe o mulțime finită, graficul este o mulțime finită de puncte (nu o linie continuă). De exemplu, pentru funcția din tabel, graficul este format din punctele $(1, 4)$, $(2, 7)$ și $(3, 10)$.

Un punct $P(x_0, y_0)$ aparține graficului dacă $y_0 = f(x_0)$, adică dacă coordonatele lui verifică legea funcției. De exemplu, punctul $(2, 7)$ aparține graficului lui $f(x) = 3x + 1$, deoarece $f(2) = 7$; în schimb $(2, 5)$ nu aparține, pentru că $f(2) = 7 \ne 5$.

Citirea informațiilor de pe grafic

Dintr-un grafic putem citi direct valorile funcției: pentru a afla $f(a)$, găsim punctul de abscisă $a$ și îi citim ordonata. Invers, pentru a afla pentru ce valoare a lui $x$ avem $f(x) = b$, căutăm punctul de ordonată $b$ și îi citim abscisa.