Produsul cartezian; sistemul de axe; distanța dintre două puncte

Produsul cartezian

Fie două mulțimi $A$ și $B$. Produsul cartezian $A \times B$ este mulțimea tuturor perechilor ordonate $(a, b)$ în care primul element aparține lui $A$, iar al doilea lui $B$: $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A,\ b \in B\}.$ De exemplu, dacă $A = \{1, 2\}$ și $B = \{3, 4\}$, atunci $A \times B = \{(1,3),\ (1,4),\ (2,3),\ (2,4)\}.$ Într-o pereche ordonată ordinea contează: $(1, 3) \ne (3, 1)$. De aceea, în general $A \times B \ne B \times A$. Numărul de perechi este produsul cardinalelor: dacă $A$ are $m$ elemente și $B$ are $n$ elemente, atunci $A \times B$ are $m \cdot n$ elemente.

Sistemul de axe ortogonale

Sistemul de axe ortogonale (reperul cartezian) $xOy$ este format din două axe numerice perpendiculare, cu originea comună $O$. Axa orizontală se numește axa absciselor ($Ox$), iar axa verticală axa ordonatelor ($Oy$).

Orice punct $M$ din plan este determinat de o pereche ordonată de numere reale $(x_M, y_M)$, numite coordonatele punctului: $x_M$ este abscisa (citită pe $Ox$), iar $y_M$ este ordonata (citită pe $Oy$). Scriem $M(x_M, y_M)$.

Axele împart planul în patru cadrane:

• Cadranul I: $x > 0$, $y > 0$;
• Cadranul II: $x < 0$, $y > 0$;
• Cadranul III: $x < 0$, $y < 0$;
• Cadranul IV: $x > 0$, $y < 0$.

Un punct de forma $(x, 0)$ se află pe axa $Ox$, iar unul de forma $(0, y)$ se află pe axa $Oy$. Originea este $O(0, 0)$.

Distanța dintre două puncte

Fie punctele $A(x_1, y_1)$ și $B(x_2, y_2)$. Distanța dintre ele (lungimea segmentului $AB$) se calculează cu formula: $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$ Formula provine din teorema lui Pitagora: diferențele $|x_2 - x_1|$ și $|y_2 - y_1|$ sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza $AB$.

Cazuri particulare utile:

• dacă $A$ și $B$ au aceeași ordonată ($y_1 = y_2$), segmentul este orizontal și $AB = |x_2 - x_1|$;
• dacă au aceeași abscisă ($x_1 = x_2$), segmentul este vertical și $AB = |y_2 - y_1|$;
• distanța de la origine la $M(x, y)$ este $OM = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Deoarece ridicăm la pătrat diferențele, ordinea scăderii nu contează: $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$. Rezultatul este întotdeauna un număr pozitiv sau $0$ (când punctele coincid).