Produsul cartezian; sistemul de axe; distanța dintre două puncte

Produsul cartezian

Fie două mulțimi $A$ și $B$. Produsul cartezian $A \times B$ este mulțimea tuturor perechilor ordonate $(a, b)$ în care primul element aparține lui $A$, iar al doilea lui $B$: $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A,\ b \in B\}.$ De exemplu, dacă $A = \{1, 2\}$ și $B = \{3, 4\}$, atunci $A \times B = \{(1,3),\ (1,4),\ (2,3),\ (2,4)\}.$ Într-o pereche ordonată ordinea contează: $(1, 3) \ne (3, 1)$. De aceea, în general $A \times B \ne B \times A$. Numărul de perechi este produsul cardinalelor: dacă $A$ are $m$ elemente și $B$ are $n$ elemente, atunci $A \times B$ are $m \cdot n$ elemente.

Sistemul de axe ortogonale

Sistemul de axe ortogonale (reperul cartezian) $xOy$ este format din două axe numerice perpendiculare, cu originea comună $O$. Axa orizontală se numește axa absciselor ($Ox$), iar axa verticală axa ordonatelor ($Oy$).

Orice punct $M$ din plan este determinat de o pereche ordonată de numere reale $(x_M, y_M)$, numite coordonatele punctului: $x_M$ este (citită pe ), iar este (citită pe ). Scriem .

Axele împart planul în patru cadrane:

• Cadranul I: $x > 0$, $y > 0$;
• Cadranul II: $x < 0$, $y > 0$;

Un punct de forma $(x, 0)$ se află pe axa $Ox$, iar unul de forma $(0, y)$ se află pe axa $Oy$. Originea este $O(0,$.

Distanța dintre două puncte

Fie punctele $A(x_1, y_1)$ și $B(x_2, y_2)$. dintre ele (lungimea segmentului ) se calculează cu formula: Formula provine din : diferențele și sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza .

Cazuri particulare utile:

• dacă $A$ și $B$ au aceeași ordonată ($y_1 = y_2$), segmentul este orizontal și ;

Deoarece ridicăm la pătrat diferențele, ordinea scăderii nu contează: $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$. Rezultatul este întotdeauna un număr pozitiv sau (când punctele coincid).