Funcția liniară f(x)=ax+b; lecturi grafice

Funcția liniară

O funcție de forma $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = ax + b$, cu $a, b \in \mathbb{R}$, se numește funcție liniară (mai exact, funcție de gradul I când $a \ne 0$). Numărul $a$ se numește coeficientul unghiular (panta), iar $b$ este termenul liber (ordonata la origine).

Domeniul poate fi o mulțime finită sau un interval nedegenerat (de exemplu $\mathbb{R}$). Când domeniul este un interval, graficul funcției este o linie dreaptă.

Reprezentarea grafică

Pentru $a \ne 0$, graficul lui $f(x) = ax + b$ este o dreaptă. O dreaptă este determinată de două puncte, deci este suficient să alegem două valori pentru $x$, să calculăm imaginile lor și să unim cele două puncte. Cel mai comod se aleg intersecțiile cu axele.

Intersecția cu axa $Ox$ (unde $y = 0$): rezolvăm $ax + b = 0$, de unde $x = -\dfrac{b}{a}$. Punctul este $A\left(-\frac{b}{a},\ 0\right).$

Intersecția cu axa $Oy$ (unde $x = 0$): $f(0) = a \cdot 0 + b = b$. Punctul este $B(0,\ b).$

De exemplu, pentru $f(x) = 2x - 4$: intersecția cu $Oy$ este $B(0, -4)$; intersecția cu $Ox$ rezultă din $2x - 4 = 0$, deci $x = 2$, adică $A(2, 0)$. Unind $A$ și $B$ obținem dreapta.

Dacă $a = 0$, funcția este constantă, $f(x) = b$, iar graficul este o dreaptă orizontală care taie $Oy$ în $(0, b)$.

Apartenența unui punct la grafic

Un punct $P(x_0, y_0)$ aparține graficului lui $f$ dacă și numai dacă coordonatele sale verifică legea funcției: $P(x_0, y_0) \in G_f \iff y_0 = a x_0 + b.$ De exemplu, pentru $f(x) = 2x - 4$, punctul $(3, 2)$ aparține graficului pentru că $f(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2$, iar punctul $(3, 5)$ nu aparține, deoarece $f(3) = 2 \ne 5$.

Lecturi grafice

Dintr-un grafic (o dreaptă) putem citi direct multe informații:

• valoarea $f(a)$: găsim pe dreaptă punctul de abscisă $a$ și îi citim ordonata;
• soluția ecuației $f(x) = c$: găsim punctul de ordonată $c$ și îi citim abscisa;
• intersecțiile cu axele: punctul în care dreapta taie $Oy$ dă valoarea $b$; punctul în care taie $Ox$ dă soluția ecuației $f(x) = 0$;
• semnul pantei: dacă $a > 0$ dreapta „urcă” (funcție crescătoare), dacă $a < 0$ dreapta „coboară” (funcție descrescătoare).

Aceste lecturi grafice sunt frecvente la Subiectul III și cer atât citirea coordonatelor, cât și justificarea prin calcul.