Sisteme de două ecuații liniare

Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute este format din două ecuații de gradul întâi care trebuie satisfăcute simultan de aceeași pereche de numere. Forma generală este $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$, unde $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ sunt numere reale date, iar $x$ și $y$ sunt necunoscutele.

A rezolva un sistem înseamnă a găsi toate perechile $(x, y)$ care verifică ambele ecuații în același timp. O astfel de pereche se numește soluție a sistemului. Un sistem obișnuit are exact o soluție (o singură pereche).

Metoda substituției

Ideea este să exprimăm o necunoscută în funcție de cealaltă dintr-o ecuație și să o înlocuim în cealaltă ecuație.

1. Alegem ecuația mai simplă și scoatem, de exemplu, pe $y$ în funcție de $x$ (sau invers).
2. Înlocuim expresia obținută în cealaltă ecuație; rezultă o ecuație cu o singură necunoscută.
3. Rezolvăm această ecuație și aflăm prima necunoscută.
4. Înlocuim valoarea găsită în expresia de la pasul 1 și aflăm a doua necunoscută.

De exemplu, din $x + y = 5$ scoatem $y = 5 - x$; înlocuind în $2x - y = 1$ obținem $2x - (5 - x) = 1 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$, deci $y = 3$.

Metoda reducerii

Ideea este să eliminăm una dintre necunoscute prin adunarea sau scăderea ecuațiilor, după ce coeficienții acelei necunoscute devin numere opuse (sau egale).

1. Înmulțim, dacă e nevoie, fiecare ecuație cu un număr potrivit, astfel încât coeficienții uneia dintre necunoscute să devină numere opuse.
2. Adunăm ecuațiile membru cu membru; o necunoscută dispare și rămâne o ecuație cu o singură necunoscută.
3. Rezolvăm și aflăm prima necunoscută.
4. Înlocuim într-una dintre ecuațiile inițiale și aflăm a doua necunoscută.

De exemplu, la $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases}$ coeficienții lui $y$ sunt deja opuși ($+2$ și $-2$). Adunând ecuațiile: $8x = 8 \Rightarrow x = 1$, apoi $3 \cdot 1 + 2y = 7 \Rightarrow y = 2$.

Cum alegem metoda

Folosim substituția când o necunoscută are coeficientul $1$ sau $-1$ (se scoate ușor). Folosim reducerea când coeficienții unei necunoscute sunt deja egali sau opuși, ori se pot face astfel prin înmulțiri simple. Ambele metode duc la același rezultat.

Verificarea este obligatorie la examen: înlocuim perechea $(x, y)$ găsită în ambele ecuații și ne asigurăm că obținem egalități adevărate. Soluția se scrie ordonat, de forma $(x, y) = (2, 3)$, sau $S = \{(2, 3)\}$.