Inecuații

O inecuație de gradul I cu necunoscuta $x$ este o inegalitate care se poate aduce la una dintre formele $ax + b \ge 0, \quad ax + b \le 0, \quad ax + b > 0, \quad ax + b < 0, \qquad a, b \in \mathbb{R}.$ A rezolva o inecuație înseamnă a găsi toate valorile reale ale lui $x$ care o verifică. Mulțimea soluțiilor se scrie de obicei ca interval.

Transformări echivalente. Ca la ecuații, putem:

• aduna sau scădea același număr în ambii membri — sensul inegalității rămâne neschimbat;
• înmulți sau împărți ambii membri cu un număr pozitiv — sensul rămâne neschimbat.

Regula esențială. Când înmulțim sau împărțim ambii membri cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă: $\ge$ devine $\le$, $>$ devine $<$ și invers. De exemplu, din $-2x > 6$, împărțind la $-2$, obținem $x < -3$ (nu $x > -3$).

Rezolvarea. Izolăm necunoscuta exact ca la o ecuație (termenii cu $x$ într-un membru, numerele în celălalt, cu schimbarea semnului la trecere), apoi împărțim la coeficientul lui $x$ — atenție la semnul lui:

• $ax + b \ge 0$ cu $a > 0 \Rightarrow x \ge -\dfrac{b}{a}$, deci $S = \left[-\dfrac{b}{a}, +\infty\right)$;
• $ax + b \ge 0$ cu $a < 0 \Rightarrow x \le -\dfrac{b}{a}$ (sens schimbat), deci $S = \left(-\infty, -\dfrac{b}{a}\right]$.

Scrierea intervalului. Folosim paranteză pătrată $[\ ]$ când capătul este inclus (la $\ge$ și $\le$) și paranteză rotundă $(\ )$ când nu este inclus (la $>$ și $<$). La $+\infty$ și $-\infty$ punem întotdeauna paranteză rotundă. Astfel: $x \ge 3$ dă $S = [3, +\infty)$, iar $x < 3$ dă $S = (-\infty, 3)$.

Reprezentarea pe axă. Marcăm valoarea $-\frac{b}{a}$ pe axă cu un punct plin (capăt inclus) sau gol (capăt exclus) și hașurăm semidreapta corespunzătoare sensului soluției.

Etape de lucru: (1) desfacem parantezele și, dacă e cazul, înmulțim cu numitorul comun (fiecare termen); (2) grupăm termenii cu $x$ și numerele; (3) reducem la forma $ax \ge -b$ (sau $\le, <, >$); (4) împărțim la $a$, schimbând sensul dacă $a < 0$; (5) scriem soluția ca interval și, la cerere, o reprezentăm pe axă. Uneori se cer doar soluțiile întregi sau naturale din interval.