Probleme rezolvabile cu ecuații sau sisteme

Multe probleme din viața reală se rezolvă cel mai clar traducând enunțul în limbaj algebric: alegem necunoscute, scriem relațiile din text sub formă de ecuații și rezolvăm. Aceasta este ideea de la baza problemei 1 de la Subiectul al III-lea din examen.

Pașii rezolvării

1. Citim atent enunțul și stabilim ce ni se cere.
2. Alegem necunoscuta (necunoscutele) și notăm ce reprezintă fiecare literă — de exemplu, „fie $x$ prețul unui caiet, în lei".
3. Traducem în ecuații fiecare relație din text. Cuvintele-cheie ajută: suma → $+$, diferența / cu ... mai mult / mai puțin → $\pm$, de ... ori mai mare → înmulțire, dublul → $2x$, triplul → $3x$, jumătatea → $\dfrac{x}{2}$.
4. Rezolvăm ecuația sau sistemul.
5. Verificăm rezultatul în enunț și interpretăm: dăm răspunsul complet, cu unități de măsură, și eliminăm soluțiile care nu au sens în context (de exemplu, o lungime nu poate fi negativă).

Cu o ecuație sau cu un sistem?

Dacă în problemă apare o singură mărime necunoscută, o notăm cu $x$ și scriem toate celelalte mărimi în funcție de $x$. De exemplu: „Un creion costă cu $6$ lei mai puțin decât un stilou, iar împreună costă $14$ lei." Notăm cu $x$ prețul stiloului; atunci creionul costă $x - 6$, iar ecuația este $x + (x - 6) = 14$.

Dacă avem două mărimi legate prin două relații, este natural să folosim două necunoscute și un sistem. De exemplu: „$3$ caiete și $2$ pixuri costă $23$ lei; $2$ caiete și $5$ pixuri costă $30$ lei." Notăm cu $c$ prețul unui caiet și cu $p$ prețul unui pix; obținem $\begin{cases} 3c + 2p = 23 \\ 2c + 5p = 30 \end{cases}$.

Tipuri frecvente de probleme

• Numere: suma și diferența a două numere, numere consecutive ($n$ și $n+1$), câtul și restul împărțirii.
• Prețuri și cumpărături: două produse cumpărate în combinații diferite.
• Vârste: relații „acum" și „peste / acum câțiva ani" (atenție: peste $k$ ani, fiecare vârstă crește cu $k$).
• Geometrie: perimetre și dimensiuni (lungime dublul lățimii etc.).
• Amestecuri simple de tipul găini–iepuri (capete și picioare).

Cheia notei maxime este justificarea: la Subiectul al III-lea se punctează atât ecuația scrisă corect din enunț, cât și interpretarea finală a rezultatului. Nu este suficient „răspunsul"; trebuie arătat cum a fost obținut.