Ecuația de gradul I

O ecuație de gradul I (sau ecuație liniară) cu necunoscuta $x$ este o egalitate care se poate aduce la forma $ax + b = 0, \quad a, b \in \mathbb{R}.$ A rezolva ecuația înseamnă a determina mulțimea soluțiilor $S$ — toate valorile lui $x$ care fac egalitatea adevărată.

Ecuații echivalente. Două ecuații sunt echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții. Trecem de la o ecuație la una echivalentă (mai simplă) prin transformări permise:

• adunăm sau scădem același număr (sau aceeași expresie) în ambii membri;
• înmulțim sau împărțim ambii membri cu un număr nenul.

În practică, „mutarea" unui termen dintr-un membru în celălalt înseamnă adunarea/scăderea lui în ambii membri: termenul schimbă semnul când trece de partea cealaltă.

Rezolvarea în cazul general ($a \neq 0$). Izolăm necunoscuta: $ax + b = 0 \Rightarrow ax = -b \Rightarrow x = -\frac{b}{a}.$ Ecuația are o soluție unică, deci $S = \left\{-\dfrac{b}{a}\right\}$. De exemplu, $3x - 6 = 0 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$, deci $S=\{2\}$.

Cazuri speciale ($a = 0$). Dacă, după reducerea termenilor, coeficientul lui $x$ devine zero, apar două situații:

• $0 \cdot x + b = 0$ cu $b \neq 0$: egalitatea $b = 0$ este falsă pentru orice $x$, deci ecuația nu are soluții: $S = \emptyset$. (Exemplu: $0 \cdot x + 3 = 0$.)
• $0 \cdot x + 0 = 0$: egalitatea $0 = 0$ este adevărată pentru orice $x$, deci ecuația are o infinitate de soluții: $S = \mathbb{R}$. (Exemplu: $2x + 1 = 2x + 1$.)

Etapele de lucru la o ecuație mai complicată: (1) desfacem parantezele; (2) dacă apar numitori, înmulțim toată ecuația cu numitorul comun (fiecare termen!); (3) grupăm termenii cu $x$ într-un membru și numerele în celălalt (schimbând semnele la trecere); (4) reducem termenii asemenea, ajungând la forma $ax=-b$; (5) împărțim la $a$ (dacă $a \neq 0$) sau discutăm cazul $a=0$; (6) verificăm soluția înlocuind-o în ecuația inițială.

Verificarea nu este obligatorie la barem, dar elimină erorile de semn.